循环群中m阶元素存在性充要条件的证明问询

大家好，我最近在做Saracino所著《抽象代数》里的一道练习题，现在卡在了某个步骤，想请大家帮忙验证我的证明思路，同时梳理一下卡住的地方。

题目内容 #

设$G$是一个循环群，且$|G|=n$。证明：正整数$m$是$G$中某个元素的阶当且仅当$m \mid n$。

我的证明思路（目前进度） #

• 先从充分性入手：假设$m \mid n$，那么存在整数$q$使得$mq=n$。我们的目标是找到$G$中的元素$h$，使得$h$的阶为$m$（即满足$h^{m=e$，且不存在比$m$更小的正整数$k$使得$h}k=e$）。
• 因为$G$是循环群，且$m$整除$n$，根据我之前已经证明过的一个结论，$G$中存在一个子群$H$，满足$|H|=m$。另外，由于...（这里我卡住了，不知道接下来该怎么推导存在阶为$m$的元素）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MCMath