关于tetration函数导数的一阶非齐次递推关系求解咨询

我知道这个问题之前有人问过也找到了解决方案，但我想自己尝试攻克它，过程中接触到了数学的另一个分支，希望能得到帮助，换一种思路来找解法。

在寻找解法的过程中，我找到了 tetration 函数导数的递推公式：
$$ \frac{d}{dx}[{^{n}{x}}]=([{{n-1}{x}}]^{{\prime}\ln{x}+\frac{{}{n-1}{x}}}{x}){^{n}{x}} $$

把它写成更标准的递推关系形式就是：
$$ a_{n}=(a_{n-1}\ln{x}+\frac{{^{{n-1}{x}}}{x}){}{n}{x}} $$
这里我定义 $a_n = \frac{d}{dx}[{^{n}{x}}]$，也就是第n层 tetration 函数对x的导数。

说下我的背景：目前我正在学微积分1，不过我已经看过不少维基百科相关文章，也自己摆弄过求和、乘积这类运算。最近在离散数学课上学了递推关系，通过朋友了解到这个式子属于一阶非齐次线性递推关系，我想知道有没有人能帮我进一步推导或者分析这个递推关系的解法？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Willow Tough