关于优惠券收集问题公式推导及相关结论的技术咨询

最近我在研究数学领域里的优惠券收集问题——假设咱们要集齐$n$种不同的优惠券（或者物品），这里整理了几个公认的核心结论，分享给大家：

• 期望抽取次数：
  集齐所有$n$种优惠券所需的期望抽取次数$E[T]$为：
  $$ E[T] = n\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} $$

• 集齐所有优惠券的概率：
  在$k$次抽取内集齐所有优惠券的概率$P(T \leq k)$为：
  $$ P(T \leq k) = \frac{n!}{n^k} \sum_{i=0}^n (-1)^i \binom{n}{i} (n-i)^k $$

• 收集第$i$种新优惠券的期望时间：
  原内容此处表述未完整，通常该结论为：当已收集到$i-1$种优惠券时，抽取到第$i$种新优惠券的期望次数为$\frac{n}{n-i+1}$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者heartofdarkness