关于单形高斯测度相关积分通项公式的证明求助

各位大佬好，最近我在啃一个和单形高斯测度相关的多重积分，卡得死死的，想求各位给点证明思路！

我要计算的积分是：
$$
I(n) =\int_{-\infty}^{0\int_{-\infty}}{z_2 \sqrt{\frac{1}{3}}}\cdots \int_{-\infty}^{{z_{n-1}\sqrt{\frac{n-2}{n}}}\exp\left(-\sum_{k=2}}n z_k^2\right)dz_n\cdots dz_3dz_2
$$
这里要求 $n\geq 2$。

先给大家看我已经算出来的低维结果：

• 当 $n=2$ 时，这其实就是标准高斯积分的一半，很容易得到：
  $$
  I(2) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}
  $$
• 我用Mathematica跑了 $n=3$ 的情况，结果是：
  $$
  I(3) = \frac{\pi}{3\cdot 2}
  $$

之后我对比了数值计算的结果，发现似乎存在一个通用的通项公式：
$$
I(n) = \frac{\pi^{\frac{n-1}{2}}}{n!}
$$
换句话说，这个单形区域居然刚好捕获了整个高斯权重（总量为 $\pi^{\frac{n-1}{2}}$）的 $1/n!$。这个结果看着特别简洁漂亮，但我完全摸不着证明的门道。一开始我还想试试数学归纳法，但刚起步就卡壳了，完全不知道怎么递推下去...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Matthew Louis