利用常数1的傅里叶变换求解x的傅里叶变换的相关技术疑问

嘿，这个问题问到点子上了——这其实是在广义函数（分布）框架下处理傅里叶变换的典型场景，普通函数的运算规则在这里需要调整，咱们一步步理清楚：

第一步：建立x和已知函数的积分关系 #

首先，我们可以把变量$x$（为了避免和积分变量混淆，换成$t$来写）表示为常数1的积分：
$$t = \int_{-\infty}^{t} 1 , dx$$
也就是说，如果令$f(x)=1$，那么$\int_{-\infty}^{t}f(x)dx = t$，我们要求的就是$\mathscr{F}{t}$（也就是$\mathscr{F}{x}$）。

第二步：代入积分的傅里叶变换公式 #

根据你给出的公式：
$$\mathscr{F}\left{\int_{-\infty}^{t}f(x), \mathrm dx\right}=\frac{1}{i\omega}F(\omega)+\pi F(0)\delta(\omega)$$
这里$f(x)=1$，所以它的傅里叶变换$F(\omega)=\mathscr{F}{1}=\delta(\omega)$。现在关键是处理$F(0)$：

• 从傅里叶变换的定义，$F(0)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i0\cdot x}dx = \int_{-\infty}^{\infty}1dx$，这个积分在普通函数意义下确实发散，但在分布意义下，我们不能把$\delta(0)$当成“无穷大”直接计算，而是要通过分布的运算规则来处理整个式子。

第三步：处理分布意义下的运算 #

先把已知项代入公式：
$$\mathscr{F}{t} = \frac{1}{i\omega}\delta(\omega) + \pi \cdot \left( \int_{-\infty}^{\infty}1dx \right)\delta(\omega)$$
这里有两个关键的分布性质要用到：

1. $\frac{1}{\omega}\delta(\omega)=0$：因为$\delta(\omega)$仅在$\omega=0$处有非零作用，但结合分布的定义（作用在测试函数上），这个乘积是零分布——简单来说，对于任何光滑的测试函数$\phi(\omega)$，$\langle \frac{1}{\omega}\delta(\omega), \phi \rangle = \langle \delta(\omega), \frac{\phi(\omega)}{\omega} \rangle$，这类奇异性会被后续项抵消，最终不影响结果。
2. 结合导数的傅里叶变换规则验证：已知导数的傅里叶变换公式$\mathscr{F}{f'(t)}=i\omega\mathscr{F}{f(t)}$，反过来推导积分的傅里叶变换，最终我们可以得到$x$的傅里叶变换在分布意义下的准确结果：
   $$\mathscr{F}{x} = -i2\pi\delta'(\omega)$$
   这是一个δ函数的导数，属于广义函数范畴，是良定义的。

关于ω=0的疑问 #

你提到的“除以ω导致ω=0处无定义”是普通函数的思维，但在分布框架下，傅里叶变换是作为一个整体作用在测试函数上的，不是逐点定义的。比如$\frac{1}{i\omega}F(\omega)$这个项，当$F(\omega)=\delta(\omega)$时，结合分布运算规则，它并不会产生单独的奇异性，而是和后面的$\pi F(0)\delta(\omega)$项结合后，最终得到一个合法的分布，不存在“ω=0处无定义”的问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Arian_ki