求满足素数相关等式的正整数三元组(m,n,p)的求解问询

几周前我在数论课上碰到了这么一个问题，想找出所有满足条件的正整数三元组$(m, n, p)$：其中$p$是素数，且存在正整数$a$和$b$使得以下两个等式同时成立：
$$mn + 1 = p^a$$
$$m + n = p^b$$

我的求解进展 #

思路1：代入转化为二次方程 #

我先从第二个等式出发，把$m$用$n$表示出来：
$$m = p^b - n$$
接着把这个式子代入第一个等式里，展开整理后得到了一个关于$n$的二次方程：
$$n(p^b - n) + 1 = p^a$$
$$n^2 - p^b n + p^a - 1 = 0$$
之后我计算了这个二次方程的判别式，结果是：
$$D = p^{2b} - 4p^a + 4$$
但到这一步我就卡住了，不知道该怎么继续处理这个判别式来推进求解。

思路2：未完成的尝试 #

我还尝试了第二种思路，但目前只开了个头，还没梳理出有效的进展，暂时没法分享更多内容。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Peter