三角形外接圆相关线段比例及互质整数和的求解问题

嘿，这道几何题我来一步步拆解给你看～

第一步：计算BD和DC的长度 #

已知$\dfrac{BD}{BC}= \left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2$，代入AB=15，AC=17，BC=16：
$$
\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2 = \left(\dfrac{15}{17}\right)^2 = \dfrac{225}{289}
$$
所以：
$$
BD = BC \times \dfrac{225}{289} = 16 \times \dfrac{225}{289} = \dfrac{3600}{289}
$$
$$
DC = BC - BD = 16 - \dfrac{3600}{289} = \dfrac{16 \times 289 - 3600}{289} = \dfrac{4624 - 3600}{289} = \dfrac{1024}{289}
$$

第二步：用相交弦定理建立比例关系 #

根据相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。这里弦AE和BC交于点D，因此：
$$
DA \times DE = DB \times DC
$$
我们需要求$\dfrac{ED}{DA}$，将式子变形可得：
$$
\dfrac{ED}{DA} = \dfrac{DB \times DC}{DA^2}
$$

第三步：用斯特瓦尔特定理计算$DA^2$ #

在$\triangle ABC$中，利用斯特瓦尔特定理：对于BC边上的点D，有
$$
AB^2 \times DC + AC^2 \times BD = BC \times (AD^2 + BD \times DC)
$$
代入已知值计算：
左边：
$$
15^2 \times \dfrac{1024}{289} + 17^2 \times \dfrac{3600}{289} = \dfrac{230400}{289} + 3600 = \dfrac{230400 + 3600 \times 289}{289} = \dfrac{1270800}{289}
$$
右边整理后：
$$
\dfrac{1270800}{289} = 16AD^2 + \dfrac{16 \times 3600 \times 1024}{289^2}
$$
移项求解$AD^2$：
$$
16AD^2 = \dfrac{367261200 - 58982400}{83521} = \dfrac{308278800}{83521}
$$
$$
AD^2 = \dfrac{308278800}{16 \times 83521} = \dfrac{19267425}{83521}
$$

第四步：计算最终比例并约分 #

先计算$DB \times DC$：
$$
DB \times DC = \dfrac{3600}{289} \times \dfrac{1024}{289} = \dfrac{3686400}{83521}
$$
代入比例公式：
$$
\dfrac{ED}{DA} = \dfrac{\dfrac{3686400}{83521}}{\dfrac{19267425}{83521}} = \dfrac{3686400}{19267425}
$$
分子分母同除以最大公约数225，约分后得到：
$$
\dfrac{ED}{DA} = \dfrac{16384}{85633}
$$

16384和85633互质（16384是2的14次幂，85633是奇数且不含因数2），所以$a=16384$，$b=85633$，它们的和为$16384+85633=102017$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ayumi