求教：Lipschitz函数映射零测集仍为零测集的课本证明解析

各位大佬好！我最近在啃实分析的习题，碰到了一个关于Lipschitz函数和零测集的问题，对着课本给的证明开头卡壳了，想请大家帮忙解析一下完整的证明逻辑。

先把题目和课本给的（不完整的）证明片段放出来：

课本习题内容 #

设 ( f: U \to \mathbb{R}^k ) 是定义在开集 ( U \subset \mathbb{R}^k ) 上的函数，满足Lipschitz条件：即存在常数 ( L > 0 )，使得对任意 ( x, y \in U )，有 ( |f(x) - f(y)| \leq L |x - y| )。假设 ( A \subset U ) 是一个零测集，证明 ( f(A) ) 也是零测集。

课本给出的不完整证明片段 #

对任意 ( n \in \mathbb{N} )，令 ( A_n := B_n(0) \cap A )，则 ( A_n ) 是零测集，因为 ( A_n \subset A )（原课本内容此处截断）...

我现在的困惑点主要有这些：

• 为什么要把原零测集A拆成 ( A_n = B_n(0) \cap A ) 这样的交集序列？这个拆分的动机是什么？
• 顺着这个开头，后续的证明步骤应该怎么展开？每一步的依据（比如用到Lipschitz条件的地方、零测集的定义）能不能详细讲清楚？
• 整个证明的核心逻辑链条是怎样的？比如怎么从( A_n )的零测性推导出( f(A_n) )的零测性，再过渡到( f(A) )的零测性？

麻烦各位大佬不吝赐教，最好能把完整的证明过程拆解成一步步的，每一步都讲清楚为什么这么做，感激不尽！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alex Nguyen