关于Ahmed型积分的完全椭圆积分推广及误差函数积分表示的验证问询

嘿，咱们来聊聊Ahmed型积分的相关内容吧～

Ahmed积分通常会包含一些非常规的因子，它的首个经典例子是：
$$
\int_{0}^{1} \frac{\arctan\left ( \sqrt{2+x^2} \right ) }{
\left ( 1+x^2 \right )\sqrt{2+x^2} }\text{d}x
=\frac{5\pi^2}{96},
$$
这个积分用二重积分就能轻松推导出来。

有意思的是，这类积分和K-理论密切相关——K-理论的核心作用就是确定齐次多重对数函数值之间的代数关系（比如多重对数阶梯）。不过要知道，这还只是单$\arctan$的情况，复杂度已经不低了。

还有一种高维的推广形式，和常规Ahmed积分比起来，它的形式要“棘手”得多。

现在我们可以验证：几乎所有类Ahmed积分，包括它的高维推广形式，都能被写成若干误差函数积分的线性组合。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者蜜柑しぇっり