与自身平方同分布的随机变量相关问题咨询

嘿，这个问题问得很有意思！答案是肯定存在这样的随机变量，而且我们可以从分布函数的角度推导它必须满足的条件。

假设随机变量 ( X ) 的分布函数为 ( F(x) = P(X \leq x) )，因为 ( X ) 和 ( X^2 ) 同分布，所以对任意实数 ( x )，都有 ( F(x) = P(X^2 \leq x) )。我们分三种情况拆解这个等式：

• 当 ( x < 0 ) 时：
  ( X^2 \leq x ) 是不可能发生的事件（平方数不可能为负），所以 ( P(X^2 \leq x) = 0 )，因此 ( F(x) = 0 )。这说明 ( X ) 取负数的概率为0，也就是 ( X ) 是非负随机变量。

• 当 ( 0 \leq x < 1 ) 时：
  ( P(X^2 \leq x) = P(-\sqrt{x} \leq X \leq \sqrt{x}) )，但因为 ( X ) 非负，所以这个概率等价于 ( P(X \leq \sqrt{x}) = F(\sqrt{x}) )。结合同分布的条件，就有 ( F(x) = F(\sqrt{x}) )。

• 当 ( x \geq 1 ) 时：
  同样，( P(X^2 \leq x) = P(X \leq \sqrt{x}) = F(\sqrt{x}) )，而此时 ( \sqrt{x} \leq x )（因为 ( x \geq 1 )）。我们可以迭代这个关系：比如取 ( x=2 )，则 ( F(2)=F(\sqrt{2}) )，而 ( \sqrt{2} \approx 1.414 \geq 1 )，所以 ( F(\sqrt{2})=F(\sqrt{\sqrt{2}})=F(2^{1/4}) )，继续迭代下去，( 2^{1/2n} ) 会趋近于1，最终可得 ( F(x) = F(1) ) 对所有 ( x \geq 1 ) 成立。这意味着 ( X ) 大于1的概率为0，即 ( X ) 的取值范围被限制在 ( [0,1] ) 内。

几个具体的例子： #

• 退化分布：比如 ( X ) 恒等于0，或者恒等于1，显然 ( X^2 = X )，自然和自身同分布。
• 离散分布：比如 ( X ) 以概率 ( a ) 取0，以概率 ( 1-a ) 取1（其中 ( 0 \leq a \leq 1 )），此时 ( X^2 ) 的取值和概率与 ( X ) 完全一致，满足同分布条件。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者BillCano