勒贝格测度下集合平移对称差测度函数的连续性问询
嘿，这个问题问得特别好——咱们来聊聊勒贝格测度下，函数( f(x) = m(E \Delta (E+x)) )关于( x )的连续性问题。
先明确一下问题背景：给定勒贝格测度( m )和可测集( E )，你想确认( f(x) = m(E \Delta (E+x)) )是不是连续函数，而且已经尝试用之前证明( g(x)=m(E \cap (-x,x)) )连续性的技巧（也就是利用( |m(A)-m(B)| \leq m(A \Delta B) )这个不等式），不过推导到一半卡住了对吧？
结论先给你：这个函数( f(x) )确实是连续的，咱们把你没写完的推导补完，再把逻辑理清楚：
首先回忆对称差的几个关键性质：
- 对称差满足结合律、交换律，且( A \Delta A = \emptyset )
- 一个核心恒等式：( (E \Delta (E+x+\delta)) \Delta (E \Delta (E+x)) = (E+x) \Delta (E+x+\delta) )，你可以把集合展开验证，重复的项会相互抵消，最后就剩下这两个平移集合的对称差。
现在补完你的推导步骤：
[
\begin{align*}
|f(x+\delta) - f(x)| &\leq m\left( (E \Delta (E+x+\delta)) \Delta (E \Delta (E+x)) \right) \
&= m\left( (E+x) \Delta (E+x+\delta) \right) \
&= m\left( E \Delta (E+\delta) \right)
\end{align*}
]
最后一步用到了勒贝格测度的平移不变性：对任何可测集( A )和实数( t )，( m(A + t) = m(A) )，所以平移后的集合对称差测度和原集合的对称差测度相等。
接下来只需要证明：当( \delta \to 0 )时，( m(E \Delta (E+\delta)) \to 0 )——这其实就是证明( f(x) )在( x=0 )处连续（因为( f(0)=m(E \Delta E)=0 )），再结合上面的不等式，就能推广到任意点的连续性。
咱们分两种情况来证：
当( E )是有界可测集时：
利用勒贝格测度的正则性，我们可以用紧支集的连续函数( \phi )逼近( E )的指示函数( \chi_E )，也就是取( \phi )使得( |\chi_E - \phi|{L^1} < \epsilon/2 )。
而连续函数的平移在( L^1 )中是连续的：当( |\delta| )足够小时，( |\phi(\cdot) - \phi(\cdot+\delta)|{L^1} < \epsilon/2 )。
结合这两点，我们有：
[
m(E \Delta (E+\delta)) = |\chi_E - \chi_{E+\delta}|{L^1} \leq |\chi_E - \phi|{L^1} + |\phi - \phi(\cdot+\delta)|{L^1} + |\phi(\cdot+\delta) - \chi{E+\delta}|{L^1}
]
最后一项同样因为平移不变性，等于( |\phi - \chi_E|{L^1} < \epsilon/2 )，所以整体加起来就有( m(E \Delta (E+\delta)) < \epsilon )，说明当( \delta \to 0 )时，这个值趋近于0。当( E )是一般可测集时：
对于任意( \epsilon > 0 )，利用勒贝格测度的正则性，取一个有界可测子集( F \subseteq E )，使得( m(E \setminus F) < \epsilon/4 )。
然后我们可以把对称差拆成两部分估计：
[
m(E \Delta (E+\delta)) \leq m(F \Delta (F+\delta)) + m((E \setminus F) \Delta (E+\delta \setminus F+\delta))
]
右边第二部分的对称差是两个无界集的对称差，但它的测度不超过( m(E \setminus F) + m(E+\delta \setminus F+\delta) = 2m(E \setminus F) < \epsilon/2 )（还是平移不变性）。
而对于有界集( F )，我们已经证明了当( |\delta| )足够小时，( m(F \Delta (F+\delta)) < \epsilon/2 )，所以整体就有( m(E \Delta (E+\delta)) < \epsilon )，同样说明当( \delta \to 0 )时，这个值趋近于0。
回到最开始的不等式，当( \delta \to 0 )时，( |f(x+\delta) - f(x)| \leq m(E \Delta (E+\delta)) \to 0 )，这就意味着( f(x) )在任意( x )处都是连续的。
另外你提到的( g(x)=m(E \cap (-x,x)) )的连续性，和这个问题本质上是相通的，都是利用勒贝格测度的平移不变性、正则性，以及对称差的不等式估计来完成证明的。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者M_k
