无界积分多面体整无界方向存在性的证明咨询

嘿，各位大佬好！最近在啃积分多面体相关的问题，碰到个卡壳的点想请教大家：

我现在有个有理多面体 $P := {\mathbf{x} \in \mathbb R^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0}^m, \mathbf{x} \geq \mathbf{0}^n}$，其中 $A \in \mathbb Z^{n\times m}$ 是整数矩阵，而且已经确认这个多面体是其整数点的凸包——也就是它是个积分多面体。

先给不太熟悉的朋友补个基础定义：一个向量集合 $X \subseteq \mathbb R^n$ 的凸包，是包含 $X$ 的最小凸集，具体公式是：
$$
\text{conv.hull}(X) = {\lambda_1 \mathbf{x}_1 + \dots +\lambda_t \mathbf{x}_t
:
t \geq 1; \mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_t \in X;
\lambda_1, \dots, \lambda_t \geq 0;
\lambda_1 + \dots + \lambda_t = 1
}.
$$

现在我还知道，存在某个线性函数 $\mathbf{c}^T\mathbf{x}$，使得 ${\mathbf{c}^T\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in P}$ 是无界的——说白了就是这个线性函数在P上能取到任意大的值。

我的核心疑问是：这种情况下，是不是一定存在一个非零整数向量 $\mathbf{d} \in \mathbb Z^n$，满足这几个条件：

• $A\mathbf{d} = \mathbf{0}^m$（也就是d是P的可行方向）；
• $\mathbf{d} \geq \mathbf{0}^n$；
• $\mathbf{c}^T\mathbf{d} > 0$（沿着d走，线性函数值会严格递增）；
• 对任意 $\mathbf{x} \in P$ 和 $t \geq 0$，都有 $\mathbf{x} + t\mathbf{d} \in P$（也就是这条射线完全包含在P里，是无界方向）。

如果一定存在的话，能不能给个相对严谨的证明思路？要是有反例的话，也麻烦举个例子说明~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Polyhedrish