希尔伯特空间中凸连续泛函的两次最小化分解等价性验证问询

我现在有个关于凸泛函最小化的问题想请教大家：

设$V$是希尔伯特空间，$J:V\rightarrow\mathbb{R}$是一个凸且连续的泛函，我打算通过分两步最小化的思路来研究它的最小值——先固定单位球面上的点$v$（也就是$|v|=1$），对正实数$\lambda$求$J(\lambda v)$的最小值，再对单位球面上的所有$v$求这个“点态最小值”的下确界。

不过我现在不确定的是：这个分解和直接在整个空间$V$上求$J$的最小值，二者的存在性是不是等价的？也就是下面这个等价关系是否成立（不需要额外添加假设）：
$$\min_{v\in V} J(v) \text{ 存在 } \Leftrightarrow \min_{v\in V, \Vert v \Vert=1}\min_{\lambda \in \mathbb{R}^+} J(\lambda v) \text{ 存在 } $$

另外如果最小值确实存在的话，是不是还有下面这些等式成立：
$$\min_{v\in V} J(v) = \min_{v\in V, \Vert v \Vert=1}\min_{\lambda \in \mathbb{R}^+} J(\lambda v) =\min_{v\in V, \Vert v \Vert=1} J(\lambda_v^* v)$$
这里的$\lambda_v^*$是对每个固定的单位向量$v$，使得$J(\lambda v)$取到最小值的那个$\lambda\in\mathbb{R}^+$。

对应的最小值点集合是不是也有类似的分解关系：
$$\operatorname{argmin}{v\in V} J(v) = \left{\lambda_v^* v \mid v\in\operatorname{argmin}{w\in V,|w|=1} \min_{\lambda\in\mathbb{R}^+} J(\lambda w)\right}$$

我主要纠结的是这两种最小化方式的等价性，反而不是$J$本身最小值存在性的证明，想确认这个分解逻辑是不是站得住脚。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Cantor