指定约束下随机子集前4个并集的期望大小求解

我最近碰到这么个概率问题，想和大家探讨一下求解思路：

假设$A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$是从集合${1, 2, \ldots, 200}$里随机均匀选出的子集，每个子集$A_i$的大小都是14，而且这6个子集的并集大小固定为60。我现在想算出前4个子集的并集$|\bigcup_{i=1}^4 A_i|$的期望值。

我自己先尝试了一种近似的处理思路，分享给大家：

我知道并集大小可以用容斥原理来近似，只保留前两项的话，有这么个公式：
$$
|\bigcup_{i=1}^6 A_i| \approx \sum_{i=1}^6 |A_i| - \binom{6}{2} |A_1 \cap A_2|
$$
把已知的数值代入进去，就得到了：
$$
60 = 6 \times 14 - 15x
$$
这里我设$x = |A_1 \cap A_2|$——因为子集是对称选取的，任意两个子集的交集大小期望都相同。接下来解这个方程求$x$：
$$
60 = 84 - 15x \implies 15x = 24 \implies x = \frac{24}{15} = \frac{8}{5} = 1.6
$$

基于这个结果，我可以继续用类似的近似思路计算目标期望：前4个集合的并集大小期望近似为容斥前两项的计算结果：
$$
E\left[|\bigcup_{i=1}^4 A_i|\right] \approx 4 \times 14 - \binom{4}{2}x = 56 - 6 \times 1.6 = 56 - 9.6 = 46.4
$$

要说明的是，这个方法是近似解法，因为完整的容斥原理还包含更高阶的交集项没考虑进去，但如果高阶交集的期望很小的话，这个近似结果应该会比较接近真实值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Abul Kalam