从n个编号白球和n个相同黑球中选取n个球（考虑顺序）的组合数求解疑问

我现在正在尝试解决这个问题：

what is the number of ways to pick n balls from n numbered white balls and n identical black balls when the order is important?

我的解题思路是这样的：

• 先选定要选的白球数量k（$0\leq k\leq n$），选法有${n \choose k}$种
• 接着确定这k个白球在长度为n的序列中的位置，同时要考虑白球的顺序，这相当于从n个位置中选k个进行排列，即排列数$P_n^k={n! \over (n-k)!}$
• 剩下的位置全部用黑球填充，因为黑球是完全相同的，所以只有1种填充方式
• 最后把所有可能的k值对应的情况加起来，得到总方式数：$\sum_{k=0}^n {n \choose k}{n! \over (n-k)!}$

不过我看到的标准解法从第二步开始就和我的思路不一样了：

After choosing thw white balls we add to them enough black ones so that we have n balls.

Then we order the n balls in a row: n!

And we disregrad the internal order b...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1188938