关于二元二次多项式恒等式的优美数学解释问询

我最近发现了一个挺有意思的二元二次多项式恒等式，想请教下有没有更优美的数学视角来解读它，比如用二次型或者辛形式这类概念~

先把这个恒等式列出来：
设二元二次多项式 $$f(x,y) = Ax^2 + Bxy + Cy^2$$，则它满足：
$$ f\left(-\dfrac{\partial f}{\partial y}, \dfrac{\partial f}{\partial x}\right) = - (B^2 - 4AC) \cdot f(x,y) $$

直接代入展开验证其实是件很容易的事，但我总觉得这个等式背后藏着更直观的数学意义，而不只是代数运算的巧合。有没有办法从二次型的结构、或者辛几何的角度来给它一个更自然的解释呢？期待大家的分享~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者User104