关于测度有限集上$L^q(\Omega) \subset L^p(\Omega)$的替代证明正确性的问询

大家好，我现在正尝试证明如下结论：

设$\Omega \subset \mathbb{R}^d$，且其勒贝格测度$\lambda(\Omega) < +\infty$（$\lambda$是$\mathbb{R}^d$上的勒贝格测度）。那么对于$1\leq p\leq q \leq +\infty$，有
$$L^q(\Omega) \subset L^p(\Omega).$$

我正在用的教材里，作者是通过取指数$\alpha = \frac{q}{p}$来应用霍尔德不等式完成证明的，这应该是最常规的做法。

不过我自己尝试推导的时候，想到了一个不一样的证明思路，心里没底不确定它是否正确，先把我的思路写出来：

• 第一步，我对常函数$g = 1$应用霍尔德不等式，以此证明：
  $$ ||f||{L^1({\Omega})} \leq \lambda(\Omega)||f||{L^q(\Omega)} $$
  （注：原文此处内容未完整给出，后续推导待补充）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者thdid