二次型的矩阵表示、特征值求解及分类问题求助

我现在卡在一道二次型的习题上，想请教大家的思路：

写出二次型 $Q(x,y,z)=x^2+3z2+2xy-xz$ 的矩阵表示，求它的特征值，并对这个二次型进行分类。

目前我已经写出了对应的对称矩阵：
$$ \begin{pmatrix} 1& 1& -1/2 \ 1& 0 &0 \ -1/2& 0 & 3 \end{pmatrix} $$

但如果用常规的行列式法求特征值的话，会得到一个很棘手的三次方程，实在解不动了。想问问有没有其他方法可以求解这个矩阵的特征值？比如能不能通过代入 $x^TAx+bxT+c$ 这类形式来简化计算？

真心需要大家的指点，帮我走出这个困境！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者iamLost