寻找使两凸多边形近似相似且包含的仿射变换方法

针对你提出的两个凸多边形A、B的变换问题，我分通用仿射变换和受限相似变换两种场景来梳理解决思路：

一、通用仿射变换的求解 #

仿射变换的通用形式为 T(p) = M·p + t（2D下M是2×2线性矩阵，t是平移向量），核心是在变换后A包含B的约束下，最小化A'（变换后的A）与B的形状差异。

关键步骤： #

1. 形状归一化预处理
   • 先将A、B各自平移到质心原点，消除初始平移的干扰，专注于求解线性变换矩阵M。之后再根据包含约束调整最终的平移向量t。
2. 定义相似性损失函数
   • 常用的度量包括：
     • B的所有顶点到A'的距离平方和（最小化该值表示A'与B的贴合度最高）
     • 基于形状矩的匹配误差（对齐A和B的二阶、三阶矩，量化形状相似度）
     • 单向Hausdorff距离（要求B到A'的距离为0，即B被包含，同时最小化A'到B的Hausdorff距离，保证A'尽可能贴近B）
3. 构建包含约束条件
   因为A'是凸多边形，所有B的顶点必须满足A'的半平面不等式：
   • 对A的每条边（由顶点p₀、p₁定义），变换后对应的边为 T(p₀)、T(p₁)，其内部法向量为 n' = (M⁻ᵀ)·n（n是原边的内部法向量）
   • 每个B的顶点q需满足：n'·(q - T(p₀)) ≤ 0（保证q在A'内部/边界）
4. 带约束的优化求解
   将问题转化为带约束的非线性优化问题，可以用这些工具实现：
   • Python的scipy.optimize.minimize（支持自定义约束和损失函数）
   • 凸优化库如CVXPY（若能将损失和约束转化为凸形式）
   • 技巧：先求解无约束的最优仿射变换（只追求相似性），再以此为初始值调整参数满足包含约束，能大幅提升收敛效率。

二、受限为相似变换（旋转+缩放+平移+可选反射） #

这类变换自由度更低（2D下最多5个自由度：缩放s、旋转角θ、平移(tₓ,tᵧ)、反射开关），求解思路更聚焦：

关键步骤： #

1. 初始形状对齐
   • 计算A、B的质心，先初步平移对齐质心，减少平移维度的优化量
   • 用PCA（主成分分析）提取A、B的主方向，通过旋转R对齐主方向，得到初始的旋转参数
2. 确定最优缩放与平移
   • 无约束时，最优缩放s可通过匹配A、B的面积比或特征长度比得到，但必须调整s使得变换后的A包含B
   • 约束条件同样用凸多边形的半平面不等式，或用**分离轴定理（SAT）**验证：若B在所有A'边的投影都落在A'的投影范围内，则A'包含B
3. 带约束的优化迭代
   • 损失函数可选B顶点到A'的距离平方和，或形状上下文匹配误差
   • 将旋转角θ、缩放s、平移(tₓ,tᵧ)作为优化变量，把包含约束转化为不等式约束，用非线性优化工具求解（比如scipy.optimize.minimize的SLSQP算法）
   • 若允许反射，可在优化中加入一个二进制变量控制是否翻转，或分别求解带反射和不带反射的情况，取最优解

顶点数不同的处理技巧 #

因为A、B顶点数可能不同，不能直接点对点匹配，需用整体形状度量：

• 用Hausdorff距离衡量整体形状差异，而非单个顶点的匹配误差
• 对B的顶点采样（或对A插值生成更多顶点），增加匹配的样本量

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Decong Liu