多元分段函数在(0,0)处的可微性判定问题

嘿，我来帮你一步步捋清楚这个问题！首先得指出你一开始的一个小失误：f(0,0)的取值算错了，当x=y=0时，代入第二个分支的表达式是$0^2+2*0=0$，不是你误以为的1，不过碰巧你算偏导数的结果是对的，咱们先从这里开始纠正，再一步步验证可微性。

第一步：先明确函数与f(0,0)的正确取值 #

先把函数再明确写一遍，避免混淆：
$$
f(x,y) = \begin{cases}
\frac{x^2-y2}{x-y} , & \text{当 } x \neq y \
x^2+2x, & \text{当 } x = y
\end{cases}
$$
当(x,y)=(0,0)时，属于x=y的情况，所以$f(0,0)=0^2+2*0=0$，这是后续计算的基础！

第二步：重新确认偏导数的计算（你的结果是对的，但原因要理清） #

对x的偏导数$\partial_x f(0,0)$

按偏导数定义：
$$
\partial_x f(0,0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}
$$
这里x≠0（因为x≠y=0），所以f(x,0)用第一个分支：$\frac{x^2-02}{x-0} = x$（x≠0时可以约分），代入后分子是$x - 0 = x$，所以极限是$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$，和你算的结果一致。

对y的偏导数$\partial_y f(0,0)$

同样按定义：
$$
\partial_y f(0,0) = \lim_{y \to 0} \frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}
$$
这里0≠y，所以f(0,y)用第一个分支：$\frac{0^2 - y^2}{0 - y} = y$（y≠0时约分），分子是$y - 0 = y$，极限是$\lim_{y \to 0} \frac{y}{y} = 1$，你的结果也没错。

第三步：验证可微性的核心极限 #

可微性要求的极限是：
$$
\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\left| f(x,y) - f(0,0) - (\partial_x f(0,0)x + \partial_y f(0,0)y) \right|}{\sqrt{x^2+y2}} = 0
$$
代入已知的偏导数和f(0,0)，就是要验证：
$$
\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\left| f(x,y) - 0 - (x + y) \right|}{\sqrt{x^2+y2}} = 0
$$
我们分两种情况讨论，对应函数的分段：

情况1：x≠y时

此时$f(x,y)=\frac{x^2-y2}{x-y}=x+y$（因为x≠y时，$x^2-y2=(x-y)(x+y)$，可以安全约分），代入分子：
$$
\left| (x+y) - (x+y) \right| = 0
$$
所以整个比值就是0，不管(x,y)怎么趋近(0,0)（只要x≠y），这部分的极限都是0。

情况2：x=y时（沿着直线y=x趋近(0,0)）

此时$f(x,x)=x^2+2x$，代入分子：
$$
\left| (x^2+2x) - (x + x) \right| = \left| x^2+2x - 2x \right| = |x^2|
$$
分母是$\sqrt{x^2+x2}=|x|\sqrt{2}$，所以比值为：
$$
\frac{|x^2|}{|x|\sqrt{2}} = \frac{|x|}{\sqrt{2}}
$$
当x→0时，这个比值显然趋近于0。

第四步：结论 #

不管(x,y)从什么路径趋近(0,0)，上述比值要么恒为0，要么趋近于0，完全满足可微性的定义。所以这个函数在(0,0)处是可微的，且微分就是$Df(0,0)(x,y)=x+y$。

额外补充：先验证连续性（可微的必要条件） #

顺便提一句，可微的前提是函数在该点连续，我们可以快速验证：

• 当x≠y时，$\lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y)=\lim_{(x,y)→(0,0)}(x+y)=0=f(0,0)$
• 当x=y时，$\lim_{x→0} f(x,x)=\lim_{x→0}(x^2+2x)=0=f(0,0)$
  所以函数在(0,0)处连续，满足可微的必要条件，也和我们的可微结论一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Noah Xd