关于f(a)≠0时乘积函数f(x)×g(x)在x=a处连续可微的充要条件及拓展可能性的技术问询

咱们先把问题拆解透，先明确给定的核心前提：f(x)在x=a处连续且可微，而且f(a)≠0，g(x)是任意函数，现在要找出f、g满足f(x)g(x)在x=a处连续且可微的充要条件，同时搞清楚你问的——除了书本里讲的f(a)=0的经典情况外，有没有其他能让乘积可微的特殊场景。

一、先看连续性的充要条件 #

因为f(x)在x=a处连续且f(a)≠0，根据连续函数的局部保号性，x=a附近一定存在一个小邻域，在这个邻域里f(x)不会等于0。这时候g(x)其实可以写成[f(x)g(x)] / f(x)，而1/f(x)在这个邻域里是连续的（毕竟f连续且非零）。

• 要是f(x)g(x)在x=a处连续，那两个连续函数的商（分母非零）肯定也连续，所以g(x)在x=a处必须连续；
• 反过来，如果g(x)在x=a处连续，f(x)本身也连续，那连续函数乘出来的结果自然也连续，所以f(x)g(x)在x=a处连续。
  总结一下：g(x)在x=a处连续是f(x)g(x)在该点连续的充要条件。

二、再看可微性的充要条件 #

咱们从导数的定义出发，f(x)g(x)在x=a处可微，等价于下面这个极限存在且有限：
lim_{x→a} [f(x)g(x) - f(a)g(a)] / (x - a)

我把这个极限拆成两部分来分析，这样更容易看清楚：

lim_{x→a} [f(x)g(x) - f(a)g(x) + f(a)g(x) - f(a)g(a)] / (x - a)
= lim_{x→a} g(x)·[f(x) - f(a)]/(x - a) + f(a)·lim_{x→a} [g(x) - g(a)]/(x - a)

已知f(x)在x=a处可微，所以第一部分里的lim_{x→a} [f(x)-f(a)]/(x-a)就是f’(a)，是个确定的有限值；再结合刚才连续性的结论，f(x)g(x)连续的话g(x)在a处也连续，所以lim_{x→a} g(x) = g(a)，那第一部分的极限就是g(a)·f’(a)，也是有限的。

这里的关键前提是f(a)≠0——这个非零的常数因子没法像f(a)=0那样把第二部分的极限“消掉”，所以整个大极限要存在，就必须让第二部分的极限lim_{x→a} [g(x)-g(a)]/(x-a)也存在，也就是g(x)在x=a处可微。

结合连续性的要求（毕竟可微必然连续），最终的充要条件就是：g(x)在x=a处可微。

三、关于“除f(a)=0外是否有其他可能性”的结论 #

先回顾你提到的经典结论：

If f(x) is continuous and differentiable at x=a, and g(x) is not differentiable at x=a, then if f(a)=0, the product function becomes differentiable at x=a.

但当f(a)≠0时，不存在这样的例外情况——只要g(x)在x=a处不可微，f(x)g(x)在该点也一定不可微。我举个简单例子验证一下：

• 取f(x)=x+1（在x=0处连续可微，f(0)=1≠0），g(x)=|x|（在x=0处不可微），乘积就是f(x)g(x)=(x+1)|x|。咱们算一下x=0处的左右导数：
  • 左导数：lim_{x→0⁻} [(x+1)(-x) - 0]/x = lim_{x→0⁻} (-x -x²)/x = -1
  • 右导数：lim_{x→0⁺} [(x+1)x - 0]/x = lim_{x→0⁺} (x +x²)/x = 1
    左右导数不相等，所以这个乘积在x=0处确实不可微，完全符合我们的结论。

再举个正向例子：f(x)=2（常数函数，在任意点都连续可微，f(a)=2≠0），g(x)=x²（在任意点可微），那乘积f(x)g(x)=2x²，在任意点都可微，这也和充要条件匹配。

最终总结 #

• 当f(a)≠0时，f(x)g(x)在x=a处连续且可微的充要条件是g(x)在x=a处可微；
• 除了f(a)=0的场景外，不存在“g不可微但乘积可微”的情况——f(a)≠0这个前提直接把这种例外的路堵死了，因为非零的f(a)没法抵消g的不可微性带来的极限不存在问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lahoma Basu