对称半正定矩阵顺序主子式的广义逆求解问询

嘿，我来给你梳理下这个问题的可行思路，刚好之前做过类似的半正定矩阵广义逆的递推计算：

首先先明确几个关键前提，避免走偏：

• 每个$\Sigma_k$都是对称半正定的，所以它们的Moore-Penrose广义逆$\Sigma_k^+$是唯一存在的，这一点你已经提到了
• 要批量计算所有$\Sigma_k^+$，最省心的方式是用分块矩阵的广义逆递推公式，毕竟顺序主子式本身就是嵌套的分块结构，递推计算比逐个单独求解高效太多

接下来给你具体的递推思路：
假设我们已经算出了$\Sigma_{k-1}^{+$，现在要计算$\Sigma_k}+$。把$\Sigma_k$写成标准分块形式：
$$
\Sigma_k = \begin{pmatrix}
\Sigma_{k-1} & \mathbf{a} \
\mathbf{a}^T & b
\end{pmatrix}
$$
其中$\mathbf{a}$是$(k-1)\times1$的列向量，$b$是标量。

分块半正定矩阵的广义逆有成熟的递推公式，这里分两种常见情况讨论：

1. 如果$\Sigma_{k-1}$是正定的（满秩）：
   这个时候可以直接用正定分块矩阵的逆递推公式，把普通逆替换成广义逆即可，公式是：
   $$
   \Sigma_k^+ = \begin{pmatrix}
   \Sigma_{k-1}^+ + \Sigma_{k-1}^+ \mathbf{a} c^+ \mathbf{a}^T \Sigma_{k-1}^+ & -\Sigma_{k-1}^+ \mathbf{a} c^+ \
   -c^+ \mathbf{a}^T \Sigma_{k-1}^+ & c^+
   \end{pmatrix}
   $$
   这里$c = b - \mathbf{a}^T \Sigma_{k-1}^+ \mathbf{a}$，当$c\neq0$时$c^{+$就是$1/c$，当$c=0$时$c}+=0$（因为0的Moore-Penrose广义逆就是0）
2. 如果$\Sigma_{k-1}$是降秩的半正定矩阵：
   先对$\Sigma_{k-1}$做谱分解，分解为$\Sigma_{k-1} = U D U^{T$，其中$U$是正交矩阵，$D$是对角矩阵（对角元为非负特征值），那么$\Sigma_{k-1}}+ = U D^+ U^T$（$D+$就是把$D$里的正特征值取倒数，0元素保持0）。之后再代入上面的分块广义逆公式，完全适用。

另外还有个实用小技巧：所有$\Sigma_k$的秩是单调不减的（半正定矩阵的顺序主子式秩满足这个性质），所以你计算时可以跟踪秩的变化——当某个$\Sigma_k$满秩之后，后面的$\Sigma_{k+1},...,\Sigma_n$的广义逆计算可以直接用正定分块的递推公式，速度会快很多。

最后再提个验证小建议：因为是广义逆，计算完成后最好抽几个$\Sigma_k^+$验证是否满足Moore-Penrose的四个定义条件，避免分块计算时的秩判断失误出问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Quertiopler