次数不超过6的非恒等多项式相等概率求解及参数n选择的技术问询

已知存在两个非恒等的多项式 $F(y), G(y)$，它们的最高次数均不超过6。我们从取值集合 $y={1,2,\dots,n}$（本次初始设定 $n=100$）中随机选取一个值，请解决以下两个问题：

1. 若两个多项式非恒等，那么 $F(x)=G(x)$ 的最大概率是多少？
2. 我们应该如何选择 $n$，使得上述概率不超过0.001？

我的解答 #

1. 由于两个多项式非恒等，我把随机变量 $X=F(y)$ 和 $Y=G(y)$ 看作独立变量。对于任意单个取值结果，其概率为 $\frac{1}{n}=\frac{1}{100}$。当两个变量的结果相等时，概率计算如下：
   $$P(X=Y)=P(X|Y=X) \cap P(Y|X=Y) = \frac{1}{100}\cdot \frac{1}{100}=0.0001$$
2. 按照同样的逻辑，我们列出等式：
   $$P(X=Y)=\frac{1}{n^2}=0.001$$
   推导可得：
   $$n=\sqrt{\frac{1}{0.001}}=\sqrt{1000}\approx31.62$$
   因为 $n$ 必须是正整数，所以我们需要选择 $n\geq32$，才能满足概率不超过0.001的要求。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user