复积分求解疑问：两种方法结果不一致的问题咨询

我需要计算以下积分：
$$\int_{0}^{2\pi}e{i r \cos\theta}\cos(i r \sin\theta-n\theta) d\theta$$
其中 $n$ 是正整数，$r$ 是正实数。

我尝试了两种方法，但得到了完全不同的结果，想请教大家哪里出现了错误：

第一种方法（三角恒等变换推导） #

我的推导过程如下：
$$\begin{align*}
\int_{0}^{2\pi}e{i r \cos\theta}\cos(i r \sin\theta-n\theta) d\theta &= \int_{0}^{2\pi} \frac{{e^{{ir(\frac{\pi}2+\theta)}e}{-in\theta}}}{2}+\frac{{e^{{ir(\frac{\pi}2-\theta)}e}{in\theta}}}{2} d\theta
\ &= e^{{ir\frac{\pi}2}\int_{0}}{2\pi}\frac{{e^{ir\theta}e{-in\theta}}+e^{-ir\theta}e{in\theta}}{2} d\theta
\ &= e^{{ir\frac{\pi}2}\int_{0}}{2\pi}\cos{((r-n)\theta)} d\theta
\ &=\begin{cases}
\frac{e^{ir\frac{\pi}2}}{r-n}\sin(2r\pi) &r\neq n \
2\pi e^{ir\frac{\pi}2} &r = n
\end{cases}
\end{align*}$$

第二种方法（构造复围道积分） #

我尝试用围道积分的方式求解，补全后的推导过程如下：
$$\begin{align*}
\int_{0}^{2\pi}e{i r \cos\theta}\cos(i r \sin\theta-n\theta) d\theta &= \text{Re}\left[ \int_{0}^{2\pi} e^{i r \cos\theta} e^{i(i r \sin\theta - n\theta)} d\theta \right]
\ &= \text{Re}\left[ \int_{0}^{2\pi} e^{i r \cos\theta - r \sin\theta - i n \theta} d\theta \right]
\ &= \text{Re}\left[ \int_{0}^{2\pi} e^{r(i \cos\theta - \sin\theta)} e^{-i n \theta} d\theta \right]
\ &= \text{Re}\left[ \int_{0}^{2\pi} e^{i r e^{i\theta}} e^{-i n \theta} d\theta \right]
\end{align*}$$
令围道 $C$ 为单位圆 $|z|=1$，设 $z = e^{i\theta}$，则 $d\theta = \frac{dz}{iz}$，$e^{i\theta} = z$，代入得：
$$\begin{align*}
\text{原积分} &= \text{Re}\left[ \int_{C} e^{i r z} z^{-n} \cdot \frac{dz}{iz} \right]
\ &= \text{Re}\left[ \frac{1}{i} \int_{C} \frac{e^{i r z}}{z^{n+1}} dz \right]
\end{align*}$$
根据柯西积分公式，对于解析函数 $f(z) = e^{i r z}$，有：
$$\int_{C} \frac{f(z)}{z^{n+1}} dz = \frac{2\pi i}{n!} f^{(n)}(0)$$
计算 $f^{(n)}(0) = (i r)^n e^{i r z} \big|_{z=0} = (i r)^n$，代入得：
$$\begin{align*}
\frac{1}{i} \cdot \frac{2\pi i}{n!} (i r)^n &= 2\pi \frac{(i r)^n}{n!}
\end{align*}$$
取实部：
$$\text{原积分} = \text{Re}\left[ 2\pi \frac{(i r)^n}{n!} \right] = 2\pi \frac{r^n}{n!} \cos\left( \frac{n\pi}{2} \right)$$

很明显两种方法的结果完全不同，我想请教各位，第一种方法的推导中哪里出现了错误？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者EmoStu