q-Pochhammer符号相关求和等式的一般性证明请求

我猜想下面这个等式是成立的，但卡在证明环节了：

已知 $z \in (0,1), a,b,x \in \mathbb{N}, b-1 \geq a+1$，应该有：

$$
\sum_{x=a+1}^{b-1} z^{-2x} \prod_{l=1}^a \left( 1 - z^{2l-2x} \right) = \frac{1}{\left( z^{2(a+1)}-1 \right) } \prod_{l=1}^{a+1} \left(1 - z^{2l-2b} \right)
$$

我代入了好几个不同的$a$值验证，等式都成立，但就是没法证明它对所有自然数$a$都成立。

这个问题和一个gamma函数比值求和的问题密切相关，但那个问题的解法在这里不适用——因为现在的求和项是实数形式。

我本来想复刻那个问题的解法，毕竟两者的递归性看起来很相似，为此我尝试了...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者G.Rossi