k-连通弦二部图是否必含完全二部图K_{k,k}？

这是个很棒的问题，刚好和弦图的经典性质形成有趣的类比！先帮咱们再明确一下核心概念：弦二部图指的是每个长度≥6的环都包含至少一条弦的二部图。你提到的“k-连通弦图必含k-团”确实是图论里的经典结论，那类比到弦二部图上，这个问题的答案其实分情况讨论：

小k值的情况（k=1,2） #

你的观察完全正确：

• 当k=1时，1-连通就是连通的二部图，显然连通二部图至少包含一条边，也就是K_{1,1}，结论成立；
• 当k=2时，2-连通的弦二部图一定包含K_{2,2}。如果不存在K_{2,2}，意味着图中任意两个顶点对之间最多只有一条独立路径，这很容易构造出长度≥6的无弦环，直接违背弦二部图的定义，所以这个结论是成立的。

k≥3的情况 #

这里就有反例了：存在k-连通的弦二部图，完全不含K_{k,k}。

举个具体的构造例子：
假设我们有两个顶点划分集A和B，每个集合的大小都是2k-1。对于A中的每个顶点a_i，我们让它连接B中除了k-1个固定顶点之外的所有顶点（比如a₁不连接B中的前k-1个顶点，a₂不连接B中的第2到k个顶点，以此类推，保证每个顶点的度数都是(2k-1)-(k-1)=k）。这样的图是k-连通的——要分离任意一个顶点，至少需要去掉它的k个邻居；同时它是弦二部图，不会出现长度≥6的无弦环；但你会发现，无论怎么选A中的k个顶点和B中的k个顶点，总会存在至少一对顶点没有边相连，所以不存在K_{k,k}。

另外从结构上看，弦二部图可以看作是树的一种二部扩展结构，这类结构的树分解特性限制了完全二部子图的规模，所以当k≥3时，k-连通性不足以强制产生K_{k,k}。

总结一下：

• k=1,2时，k-连通弦二部图必含K_{k,k}；
• k≥3时，结论不成立，存在反例。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者licheng