证明映射$F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$保持方向导数的习题解答咨询

嘿，这是来自Barrett O'Neill《初等微分几何》的一道练习题，我正试着解决它，想跟大家请教下思路：

给定$\mathbb{R}^{n$上的切向量$v_p$，可微函数$g:\mathbb{R}}m\to\mathbb{R}$，以及$\mathcal{C}^{\infty$（光滑）可微映射$F:\mathbb{R}}n\to\mathbb{R}^m$，其中$F=(f_1,\ldots,f_m)$。我需要证明$F$保持方向导数，也就是要证等式$F_(v_p)[g]=v_p[g(F)]$成立，这里$F_$是$F$的切映射。

下面是我目前的尝试过程，不过推导到一半就卡住了：
令$u:=F_(v_p)$，那么
\begin{align}
F_(v_p)[g]&=u[g]=\sum\limits_{j=1}^m u_j \frac{\partial g}{\partial y_j}\bigg|_{F(p)}
\end{align}
后面的步骤我还没想清楚该怎么衔接，想问问大家接下来该怎么推进，或者我的开头有没有需要调整的地方？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Fabri