半预开子集相关的拓扑闭包包含关系推导与验证问询

首先明确核心定义：

半预开子集定义：设$(X,\tau)$是拓扑空间，子集$Y\subseteq X$被称为半预开集，当且仅当满足$Y\subseteq \text{cl}\big(\text{int}(\text{cl}(Y))\big)$。

问题回顾 #

给定拓扑空间$(X,\tau)$，$Y$是$X$中的半预开子集，$S\subseteq Y$。已知$S\subseteq\bigcup_{i=1}^{n} \text{cl}_X(G_i)$（其中每个$G_i$都是$X$中的开集），需要解决两个问题：

1. 如何推导得出$S\subseteq\bigcup_{i=1}^{n}\text{cl}_Y(Y\cap G_i)$？
2. 下述包含链是否成立？若成立，理由是什么？
   $$S\subseteq\bigcup_{i=1}^{n}(Y\cap \text{cl}X(G_i))\subseteq\bigcup{i=1}^{n}\text{cl}_X(Y\cap G_i )$$

问题2的解答：包含链的验证 #

咱们先从这个包含链入手，它是推导第一个问题的核心基础：

第一个包含：$S\subseteq\bigcup_{i=1}^{n}(Y\cap \text{cl}_X(G_i))$

这个包含关系完全成立，而且和$Y$是不是半预开集无关。理由非常直接：
已知$S\subseteq Y$且$S\subseteq\bigcup_{i=1}^n \text{cl}_X(G_i)$，所以对于任意$s\in S$，$s$同时属于$Y$和某个$\text{cl}_X(G_i)$，也就是$s\in Y\cap\text{cl}_X(G_i)$，自然就属于所有这类交集的并集。这只是集合交、并运算的基本性质。

第二个包含：$\bigcup_{i=1}^{n}(Y\cap \text{cl}X(G_i))\subseteq\bigcup{i=1}^{n}\text{cl}_X(Y\cap G_i )$

这个包含也成立，我们只需要证明对单个$i$，$Y\cap\text{cl}_X(G_i)\subseteq\text{cl}_X(Y\cap G_i)$，再取并集即可。这里用到拓扑中一个关于开集的经典结论：

若$G$是拓扑空间$X$中的开集，$A$是$X$的任意子集，则$\text{cl}_X(G)\cap A\subseteq\text{cl}_X(A\cap G)$。

简单证明一下这个结论：假设$y\in\text{cl}_X(G)\cap A$，但$y\notin\text{cl}_X(A\cap G)$，那么存在$X$中$y$的开邻域$U$，使得$U\cap(A\cap G)=\emptyset$，也就是$(U\cap A)\cap G=\emptyset$。但$U$是开集，$y\in\text{cl}_X(G)$，所以$U\cap G\neq\emptyset$；同时$y\in A$，$U$包含$y$，所以$U\cap A$非空。这就产生了矛盾——$U\cap G$非空，但和$A$没有交集，可$y$本身就在$A$和$\text{cl}_X(G)$里，显然不成立。因此假设错误，原包含关系成立。

因为每个$G_i$都是开集，所以对每个$i$都有$Y\cap\text{cl}_X(G_i)\subseteq\text{cl}_X(Y\cap G_i)$，取并集后自然得到整个包含关系。

问题1的解答：推导$S\subseteq\bigcup_{i=1}^{n}\text{cl}_Y(Y\cap G_i)$ #

现在我们已经有$S\subseteq\bigcup_{i=1}^n\text{cl}_X(Y\cap G_i)$，再结合子空间闭包的定义：

子空间$Y$中集合$B$的闭包$\text{cl}_Y(B)$，等于$Y$和$B$在$X$中闭包的交集，即$\text{cl}_Y(B)=Y\cap\text{cl}_X(B)$。

对于$B=Y\cap G_i$，就有$\text{cl}_Y(Y\cap G_i)=Y\cap\text{cl}_X(Y\cap G_i)$。

而我们知道$S\subseteq Y$，所以：
$$
\begin{align*}
S&\subseteq Y\cap\bigcup_{i=1}^n\text{cl}X(Y\cap G_i)\
&=\bigcup{i=1}^n(Y\cap\text{cl}X(Y\cap G_i))\
&=\bigcup{i=1}^n\text{cl}_Y(Y\cap G_i)
\end{align*}
$$
这样就完成了推导。

值得注意的是，上述包含链的推导和$Y$是半预开集的条件无关，这个条件可能是问题后续延伸（比如反向推导）的需要，但当前的包含关系验证和推导不需要用到它。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1200355