高斯随机变量的正弦、余弦函数的pdf与cdf求解问询（复符号误码率计算场景）

嗨，我来帮你梳理这个用于复符号误码率计算的问题～首先咱们明确核心需求：已知θ是服从均值μ、方差σ²的高斯随机变量，需要求cosθ和sinθ的概率密度函数（pdf）及累积分布函数（cdf），以此推导带高斯相位噪声的复符号实部、虚部幅值的统计特性，最终计算误码率。

先给你拆解推导过程，咱们先从cosθ入手，sinθ的情况可以直接类比推导：

1. cosθ的pdf推导 #

设随机变量( X = \cos\theta )，θ ~ ( \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) )。

• ( X )的取值范围是( [-1, 1] )，对于任意( x \in (-1,1) )，解方程( \cos\theta = x )，可得无穷多组解：
  ( \theta = \arccos x + 2k\pi ) 或 ( \theta = -\arccos x + 2k\pi )，其中( k \in \mathbb{Z} )
• 根据随机变量函数的pdf转换公式，( f_X(x) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \left[ f_\theta(\theta_k) \cdot \left| \frac{d\theta_k}{dx} \right| \right] )
  其中高斯分布的pdf为( f_\theta(\theta) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{(\theta - \mu)^2}{2\sigma2} \right) )
  对( \theta = \pm\arccos x + 2k\pi )求导，可得( \left| \frac{d\theta}{dx} \right| = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} )

把这些代入后，就能得到cosθ的pdf：
[
f_{\cos\theta}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}\sqrt{1-x^2}} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \left[ \exp\left( -\frac{(\arccos x + 2k\pi - \mu)^2}{2\sigma2} \right) + \exp\left( -\frac{(-\arccos x + 2k\pi - \mu)^2}{2\sigma2} \right) \right]
]
仅当( x \in (-1,1) )时有值，( x=\pm1 )处概率为0。

2. cosθ的cdf推导 #

cdf就是pdf从下限到x的积分，即：
[
F_{\cos\theta}(x) = \int_{-1}^{x} f_{\cos\theta}(t) dt
]
因为pdf是无穷级数形式，cdf也会对应成无穷级数的积分形式，没有闭式解析解，一般需要数值计算。

3. sinθ的pdf与cdf #

由于( \sin\theta = \cos\left( \theta - \frac{\pi}{2} \right) )，令( \theta' = \theta - \frac{\pi}{2} )，则( \theta' \sim \mathcal{N}\left( \mu - \frac{\pi}{2}, \sigma^2 \right) )。
直接把cosθ推导中的μ替换为( \mu - \frac{\pi}{2} )，就能得到sinθ的pdf：
[
f_{\sin\theta}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}\sqrt{1-x^2}} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \left[ \exp\left( -\frac{(\arccos x + 2k\pi - (\mu - \frac{\pi}{2}))^2}{2\sigma2} \right) + \exp\left( -\frac{(-\arccos x + 2k\pi - (\mu - \frac{\pi}{2}))^2}{2\sigma2} \right) \right]
]
cdf同理，将cosθ的cdf中的μ替换即可。

4. 工程近似（适合相位噪声较小的场景） #

当相位噪声的方差( \sigma^2 )较小时（比如σ远小于π），高斯分布的概率主要集中在均值μ附近，高次项( 2k\pi )（k≠0）对应的θ值离μ很远，贡献可以忽略。此时pdf可以简化为仅保留k=0的项：
[
f_{\cos\theta}(x) \approx \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}\sqrt{1-x^2}} \left[ \exp\left( -\frac{(\arccos x - \mu)^2}{2\sigma2} \right) + \exp\left( -\frac{(-\arccos x - \mu)^2}{2\sigma2} \right) \right]
]
这个近似在误码率计算中非常实用，能大幅降低计算复杂度。

对应复符号的实部/虚部pdf #

回到你的应用场景：带相位噪声的复符号可表示为( A \cdot e^{j\theta} )（A为恒定幅值），实部是( A\cos\theta )，虚部是( A\sin\theta )。
通过变量替换( Y = A\cos\theta )，可得( \cos\theta = Y/A )，因此实部的pdf为：
[
f_{A\cos\theta}(y) = \frac{1}{A} f_{\cos\theta}\left( \frac{y}{A} \right), \quad y \in (-A,A)
]
虚部的pdf同理推导即可。

附上你提到的复符号示意图：

备注：内容来源于stack exchange，提问作者M.O.