关于Cesàro Summation的代数均值序列收敛性证明审核请求

嘿各位，我最近在研究Cesàro求和相关的问题，卡在了代数均值序列收敛性的证明上，想请大家帮忙看看我的思路对不对，有没有需要补充或者修正的地方，麻烦大家啦！

问题回顾 #

设$(x_n)$是收敛的实数列，$y_n$是$x_1,\dots,x_n$的代数均值，即对所有$n\in\mathbb{N}$，$y_n=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}$。证明$(y_n)$收敛，且$\lim(y_n)=\lim(x_n)$。
提示：令$x:=\lim(x_n)$，则$\left|\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}-x\right|=\left|\frac{(x_1-x)+\cdots+(x_n-x)}{n}\right|$

我的证明草稿 #

我先跟着提示走，令$x:=\lim(x_n)$，把要证的绝对值做了变形：
$$\left|\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}-x\right|=\left|\frac{(x_1-x)+\cdots+(x_n-x)}{n}\right|$$

接下来我打算用ε-N定义来收尾：

1. 因为$(x_n)$收敛到$x$，所以对任意$\varepsilon>0$，存在正整数$N_1$，当$n>N_1$时，$|x_n - x|<\frac{\varepsilon}{2}$。
2. 对于前$N_1$项，我设$M = |x_1 - x| + |x_2 - x| + \dots + |x_{N_1} - x|$，这是个固定的常数。那肯定能找到另一个正整数$N_2$，当$n>N_2$时，$\frac{M}{n}<\frac{\varepsilon}{2}$。
3. 取$N=\max(N_1,N_2)$，当$n>N$时，把绝对值拆成前$N_1$项和后面$n-N_1$项的和，再用三角不等式放缩：
   $$\left|\frac{(x_1-x)+\dots+(x_n-x)}{n}\right| \leq \frac{|x_1-x|+\dots+|x_{N_1}-x|}{n} + \frac{|x_{N_1+1}-x|+\dots+|x_n-x|}{n}$$
4. 然后分别估计这两部分，前一部分小于$\frac{\varepsilon}{2}$，后一部分因为每一项都小于$\frac{\varepsilon}{2}$，所以总和小于$\frac{(n-N_1)\cdot\frac{\varepsilon}{2}}{n}<\frac{\varepsilon}{2}$，加起来就小于$\varepsilon$，这样就能满足收敛的定义了。

不过我写到这里有点拿不准，这个思路有没有漏洞？比如拆分的时候有没有哪里不严谨？或者有没有更简洁的表述方式？麻烦大家帮我把把关！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hy Vu