矩阵乘法与对角缩放：运算等式正确性咨询

嘿，我有个关于矩阵运算的小疑问想和大家探讨下：

假设$A$是一个$n \times n$的矩阵，$D$是一个对角矩阵，具体形式如下：
$$
D = \begin{bmatrix}
d_1 & 0 & \cdots & 0 \
0 & d_2 & \cdots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & \cdots & d_n
\end{bmatrix}.
$$
另外我们定义矩阵$P$是由$n$个列向量$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$拼接而成的，也就是：
$$
P = [\mathbf{v}_1 , \mathbf{v}_2 , \ldots , \mathbf{v}_n],
$$

现在我想确认下面这两个等式是否成立：

1. 第一个等式：
   $$
   AP = A[\mathbf{v}_1 , \mathbf{v}_2 , \ldots , \mathbf{v}_n] = [A \mathbf{v}_1 , A \mathbf{v}_2 , \ldots , A \mathbf{v}_n]
   $$

2. 第二个等式（内容略有截断，推测是询问$PD$的展开形式是否正确）：
   $$
   PD = P \begin{bmatrix}
   d_1 & 0 & \cdots & 0 \
   0 & d_2 & \cdots & 0 \
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
   0 & 0 & \cdots & d_n
   \end{bmatrix} = [d_1\mathbf{v}_1 , d_2\mathbf{v}_2 , \ldots , d_n\mathbf{v}_n]
   $$

解答 #

• 关于第一个等式：完全成立！这是矩阵乘法的核心定义之一。当你用矩阵$A$左乘矩阵$P$时，乘积$AP$的每一列，就是$A$分别左乘$P$对应的每一列向量。只要矩阵维度匹配（这里$A$和$P$都是$n \times n$矩阵，满足乘法条件），这个拆分规则就一定成立。

• 关于第二个等式：同样成立！对角矩阵$D$的作用就是对矩阵$P$的每一列进行单独的缩放操作。展开乘法就能验证：$P$的第$i$列是$\mathbf{v}_i$，和$D$相乘时，$D$的第$i$列只有第$i$个位置是$d_i$，其余都是0，所以$PD$的第$i$列就是$\mathbf{v}_i$乘以$d_i$，也就是$d_i\mathbf{v}_i$。把所有列拼起来，就得到了$[d_1\mathbf{v}_1 , d_2\mathbf{v}_2 , \ldots , d_n\mathbf{v}_n]$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lely