单变量微积分习题：积分定义的非初等函数定义域及单调性求解求助

嘿，我完全懂你现在的迷茫——这种用积分定义的非初等函数，刚接触的时候确实容易绕晕，尤其是定义域这块很容易踩坑。咱们先把你的尝试和正确思路理清楚，一步步来：

首先明确题目要求：

习题2：设 ( g(x) = \int_x^7 \frac{e^t}{t-1} dt )（其中 ( \int_x^7 ) 表示黎曼积分）
a) 求函数 ( g(x) ) 的定义域
b) 通过计算 ( g' ) 分析 ( g(x) ) 的单调区间

关于(a)部分：你的尝试与修正 #

你之前得出的定义域结论有个容易忽略的坑：黎曼积分（正常积分）要求被积函数在整个积分区间上有界且几乎处处连续。被积函数 ( \frac{e^t}{t-1} ) 在 ( t=1 ) 处不仅无定义，还是无穷间断点——当t从右侧趋近1时，函数值趋向+∞；从左侧趋近1时趋向-∞。

那正确的定义域分析应该是这样的：

• 当 ( x \in (1, 7] ) 时，积分区间是 ( [x, 7] )，这个区间里所有t都满足 ( 1 < x \leq t \leq7 )，被积函数在这个闭区间上连续、有界，所以黎曼积分存在；
• 当 ( x \leq 1 ) 时，积分区间 ( [x,7] ) 包含了t=1这个无穷间断点，不管是正常黎曼积分还是广义黎曼积分，这个积分都是发散的（因为t=1附近的积分项会趋向无穷大，无法收敛到有限值），所以积分不存在。

所以最终 ( g(x) ) 的正确定义域是 ( D_g = (1, 7] )。

关于(b)部分：单调性分析 #

你的思路方向是对的，用变限积分的求导法则就能解决。咱们一步步拆解：

1. 先调换积分上下限，方便套用求导公式：
   ( g(x) = \int_x^7 \frac{e^t}{t-1}dt = - \int_7^x \frac{e^t}{t-1}dt )
2. 回忆变限积分求导法则：如果f(t)在区间[a,b]上连续，那么 ( \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x) )。这里被积函数 ( \frac{e^t}{t-1} ) 在 ( (1,7] ) 上连续，直接套用法则可得：
   ( g'(x) = - \frac{e^x}{x-1} )
3. 最后分析导数符号：
   在定义域 ( (1,7] ) 里，x-1始终为正，( e^x ) 也始终为正，所以 ( g'(x) = - \frac{e^x}{x-1} ) 始终是负数。

这就说明，函数 ( g(x) ) 在整个定义域 ( (1,7] ) 上是单调递减的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者aconfusedtortoise