复平面上特定向量场在原点任意邻域内存在闭轨道的证明方法问询

各位大佬好，我最近碰到一个复分析相关的问题，卡在这儿了想请教大家：

在复平面上，考虑向量场
$$
(a_n z^n+a_{n+1} z^{n+1}+\ldots)\frac{\partial}{\partial z}
\tag{1}
$$
其中 $a_i\in \mathbb C$ 是常数，$n>1$，并且
$$
\frac{\partial }{\partial z}=\frac{1}{2}\left(
\frac{\partial}{\partial x}
-i\frac{\partial}{\partial y}
\right)
\tag{2}
$$
怎么证明这个向量场在原点的任意邻域内都存在闭轨道？

这个问题出自Hamilton的《The Ricci flow on surfaces》里的内容，对应章节是全书的237-262页。

我是复分析的纯新手，其实完全没头绪，只能先从最简单的具体例子入手试了试，比如先研究 $z^2\frac{\partial}{\partial z}$ 和 $z^3\frac{\partial}{\partial z}$ 这两个情况，但还是不知道怎么推广到一般形式，也不清楚该用复分析或者动力系统里的什么工具来处理这个问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Enhao Lan