序列的分布能否判定其求和收敛性？素数倒数和推导步骤的合理性咨询

大家都知道自然数的倒数和是发散的：
$$\sum_n\frac{1}{n}\to\infty$$

有意思的是，素数的倒数和同样也是发散的：
$$\sum_{n\in Primes} \frac{1}{n}\to\infty$$

关于这个结论有不少严谨的证明（尤其是Erdos给出的那个特别精妙的证法），不过我自己琢磨出了一个基于素数分布规律的直观“证明”思路：我们知道，一个数$n$是素数的概率大概是$\sim \frac{1}{\ln(n)}$，所以我的推导步骤是这样的：

1. 素数倒数和：$\sum_{n\in Primes} \frac{1}{n}$
2. 近似为：$\sum_n\frac{1}{n} \cdot \Pr[n\in Primes]$
3. 代入概率后得到：$\sum_n\frac{1}{n\cdot \ln(n)}$
4. 这个级数是发散的：$\to \infty$

我已经确认步骤2到3、步骤3到4都是没问题的，但现在我有点拿不准：从步骤1到步骤2的推导到底合不合理呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者chausies