关于用cos(x)界定cos(nx)的不等式证明问询

大家好，我最近遇到一个三角函数相关的不等式证明问题，想向各位请教：

我需要证明一个用$\cos(x)$来约束$\cos(nx)$的不等式，具体形式如下：
$$
f(n,x) = \cos^{2 n}(x) + \cos^2(x) - 2 \cos^n(x) \cos(n x) \ge 0
$$
要求这个不等式对**所有实数$x$和所有正整数$n$**都成立。

我已经做了大量数值验证，发现对很多不同的$n$值，这个不等式都能成立。另外我还观察到$f(n,x)$的最大值随$n$增长得很慢：当$n=3$时，最大值超过1；$n=6$时超过2；$n=15$时超过3；而且显然它永远达不到4，因为4是$f(n,x)$的一个通用上界。

目前我打算从$\cos(nx)$的展开式入手尝试证明，但还没梳理出清晰的思路，想问问有没有大佬能给点证明方向或者具体的方法建议？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andreas