关于映射$D(0,1) \smallsetminus (\{0\} \cup \{\frac{1}{2}\}) \rightarrow D(0,1) \smallsetminus \{0\}, z \mapsto z^2$为何不是覆叠投影的疑问

嘿，这个问题问得挺到位的！你提到的纤维大小不一致确实是个关键线索，但背后还有更本质的、贴合覆叠投影定义的原因，咱们一步步掰扯清楚：

首先先帮你理顺可能搞混的点：原空间去掉了$\frac{1}{2}$，而$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$，所以目标空间里的$\frac{1}{4}$的原像本来应该是$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{2}$，但$\frac{1}{2}$不在定义域里，所以这个点的纤维只有$-\frac{1}{2}$这一个元素；而目标空间里大部分点（比如$\frac{1}{2}$）的原像是$\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$，都在定义域内，纤维大小是2。

先聊聊纤维基数的问题：覆叠投影有个基本性质——如果基空间（也就是这里的$D(0,1)\setminus{0}$）是连通的，那么所有纤维的大小必须完全一致（因为纤维基数是局部常数，连通空间上局部常数就意味着全局常数）。所以这里纤维一会是1、一会是2，这已经不符合覆叠投影的硬性要求了。

但更核心的原因得回到覆叠投影的定义本身：基空间里的每个点都必须有一个邻域$U$，使得原像$f^{-1}(U)$是若干个互不相交的开集的并，而且每个开集都能被$f$同胚映射到$U$。咱们拿$\frac{1}{4}$这个点来实际验证：

假设我们取$\frac{1}{4}$的一个小邻域$U$，是个不包含0的小圆盘。那$f^{-1}(U)$包含两部分：

• 一部分是围绕$-\frac{1}{2}$的小圆盘（因为$(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，且$-\frac{1}{2}$在定义域内），这部分被$f$同胚映射到$U$，完全没问题；
• 另一部分本来应该是围绕$\frac{1}{2}$的小圆盘，但$\frac{1}{2}$不在定义域里，所以这部分是“挖掉中心$\frac{1}{2}$的小圆盘”——也就是一个带洞的区域。

问题就出在这第二部分：这个带洞的区域和$U$（完整的圆盘）不同胚啊，前者有非平凡的基本群，后者是单连通的。而且不管你把$U$取得多小，这部分始终是带洞的，没法和$U$实现同胚映射。所以根本找不到符合定义的邻域$U$给$\frac{1}{4}$，这直接违反了覆叠投影的核心要求。

总结下来：既存在纤维基数不一致的问题，更关键的是存在某个点找不到满足定义的局部邻域覆盖，这两个原因共同导致它不是覆叠投影。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Loulou