求证是否存在整数x使得x³+7为完全平方数

嘿，这个问题其实是个经典的丢番图方程问题，你用Python暴力枚举到140亿都没找到解不是运气不好——根本不存在这样的整数x，咱们用数论方法就能严格证明，不用靠硬算。

第一步：先排除偶数和负整数的情况 #

• 偶数x：假设x是偶数，那么x³是8的倍数，模4余0，x³+7 ≡ 0+3=3 mod4。但整数的平方模4只能是0或1，3不可能是平方数的模4结果，所以所有偶数x都直接排除。
• 负整数x：设x=-k（k是正整数），那么x³+7 = -k³+7。要让这个数是平方数，必须满足-k³+7 ≥0 → k³ ≤7。k只能取1或2：
  • k=1时，x=-1，结果是-1+7=6，不是平方数；
  • k=2时，x=-2，结果是-8+7=-1，负数不可能是平方数；
  • k≥3时，k³≥27，x³+7变成负数，同样不可能是平方数。
    所以负整数x也没有解，只剩正奇数x需要分析。

第二步：对正奇数x用因式分解和公约数分析 #

对于正奇数x，x³+7=y²（y是正整数），我们可以把方程改写为：
x³ + 8 = y² + 1
也就是：
(x+2)(x²-2x+4) = (y+1)(y-1)

先看两边的性质：

• 左边：x是奇数，所以x+2是奇数；x²-2x+4 = x(x-2)+4，x和x-2都是奇数，奇数乘奇数是奇数，加4后还是奇数。所以左边两个因子都是奇数。
• 右边：y²=x³+7，x是奇数，x³是奇数，奇数+7=偶数，所以y是偶数，y+1和y-1是两个相差2的偶数，它们的最大公约数是2（因为相邻偶数的gcd是2），而且(y+1)(y-1)=4×[(y+1)/2×(y-1)/2]，其中(y+1)/2和(y-1)/2是相差1的整数，互质。

接下来看左边两个因子的最大公约数：用辗转相除法计算gcd(x+2, x²-2x+4)：
x²-2x+4 = (x-4)(x+2) + 12
所以gcd(x+2, x²-2x+4) = gcd(x+2,12)。因为x是奇数，x+2是奇数，所以这个gcd只能是1或3。

情况1：gcd(x+2, x²-2x+4)=1

左边是两个互质的奇数相乘，右边是4乘两个互质的整数。但左边整体是奇数，右边是4的倍数（偶数），奇数不可能等于偶数，直接矛盾，这种情况不存在。

情况2：gcd(x+2, x²-2x+4)=3

这说明x+2是3的倍数，即x≡1 mod3，代入x²-2x+4可得1-2+4=3，确实也是3的倍数，符合条件。

设x+2=3a，x²-2x+4=3b，其中gcd(a,b)=1（因为原gcd是3，除以3后互质）。代入x=3a-2到x²-2x+4的表达式，可得：
3b = (3a-2)² -2(3a-2)+4 = 9a²-18a+12
化简得b=3a²-6a+4。

现在方程变为9ab=(y+1)(y-1)=4cd（其中c=(y+1)/2，d=(y-1)/2，c-d=1，gcd(c,d)=1）。

注意x是奇数，x=3a-2是奇数，所以3a是奇数，a必须是奇数。那：

• a是奇数，所以9a是奇数；
• b=3a²-6a+4：3a²是奇数，6a是偶数，奇数-偶数+偶数=奇数，所以b也是奇数。
  左边9ab是奇数×奇数=奇数，右边4cd是4乘整数，是偶数，奇数不可能等于偶数，矛盾！

所以这种情况也不存在。

结论 #

所有可能的整数x都被排除了，不存在任何整数x使得x³+7是完全平方数。

附上你用来验证的Python脚本：

import gmpy2

x = 1
output_gap = 10**7

while True :
    if x % output_gap == 0 :
        print('x = %s' % f"{x:,}")
    y = x**3 + 7
    if (gmpy2.is_square(y)) :
        print('Square detected at x = %s' % f"{x:,}")
    x += 1

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ross Ure Anderson