单连通CW复形的上同调环与多维度球面楔和相同，是否同伦等价于球面楔和？

我之前搞明白过一个结论：如果一个单连通CW复形的约化（上）同调集中在单一维度，并且是自由模的话，那它肯定同伦等价于球面的楔和——这个可以用Hurewicz定理和Whitehead定理证出来。

现在我有个疑问想请教大家：
Q: 假设一个单连通CW复形$X$的上同调环，和由多个不同维度球面构成的楔和的上同调环完全一致，那$X$一定同伦等价于这样的球面楔和吗？

我知道光看同调群是不够的，比如$S^2\times S^{2$就不同伦于$S}2\vee S^2\vee S^4$，但这个例子里两者的上同调环是不一样的，刚好是反过来的情况。而现在这个问题里，我没办法直接套用Hurewicz定理，也想不出反例，总怕是不是这个问题其实很简单，是我没想到关键点，要是有冒犯还请见谅。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MathBug