求证满足特定条件的自然数集合的上渐近密度为1且下渐近密度为0

这道题的核心思路其实和你想到的完全一致——找两个子序列，让(\frac{|A\cap {1,2,...,n}|}{n})分别趋近1和0，毕竟上、下渐近密度本身就是这个比值的上极限和下极限，只要能找到触达这两个极限的子序列，结论就成立了。咱们一步步来拆解：

首先先明确几个关键定义和给定条件：

• 集合(A)的上渐近密度是(\overline{d}(A) = \limsup_{n\to\infty}\frac{|A\cap{1,...,n}|}{n})，下渐近密度是(\underline{d}(A) = \liminf_{n\to\infty}\frac{|A\cap{1,...,n}|}{n})
• 给定递增正整数序列({a_n})满足(\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_1+a_2+\dots+a_n}=1)，这个条件的核心是前n-1项的和远小于第n项，因为(\frac{a_n}{S_n}\to1)等价于(S_{n-1}=S_n - a_n = o(a_n))（即(S_{n-1})是(a_n)的高阶无穷小）。
• 我们要分析的集合是(A = \bigcup_{n=1}^{\infty}(a_{2n},a_{2n+1})\cap \mathbb{N})，也就是所有落在开区间((a_{2n},a_{2n+1}))里的自然数。

一、证明下渐近密度(\underline{d}(A)=0) #

我们取子序列(n=a_{2k})，也就是考虑到第(a_{2k})个数时的比值。此时(A\cap{1,...,a_{2k}})是前k-1个开区间((a_{2m},a_{2m+1}))（m=1到k-1）的并集，因为第k个区间((a_{2k},a_{2k+1}))的左端点就是(a_{2k})，和前(a_{2k})个数没有交集。

这个交集的元素个数是(\sum_{m=1}^{k-1}(a_{2m+1}-a_{2m}-1))（开区间((x,y))里的自然数个数是(y-x-1)）。现在看这个数和(a_{2k})的比值：
$$\frac{|A\cap{1,...,a_{2k}}|}{a_{2k}} = \frac{\sum_{m=1}^{k-1}(a_{2m+1}-a_{2m}-1)}{a_{2k}}$$

分子可以拆成(\sum_{m=1}^{k-1}a_{2m+1} - \sum_{m=1}^{k-1}a_{2m} - (k-1))，而根据前面的核心结论，(\sum_{m=1}^{k-1}a_{2m+1} + \sum_{m=1}^{k-1}a_{2m} = S_{2k-2} = o(a_{2k-1}) = o(a_{2k}))（因为序列递增，(a_{2k-1}<a_{2k})，且(S_{2k-2}=o(a_{2k-1}))）。同时(k-1)相对于(a_{2k})是无穷小（因为(a_{2k}\geq2k)，所以(\frac{k-1}{a_{2k}}\to0)）。

因此分子是(o(a_{2k}))，分母是(a_{2k})，所以这个比值趋向于0。这说明存在子序列使得比值趋近0，而下渐近密度是所有子序列极限的下确界，且下渐近密度非负，因此(\underline{d}(A)=0)。

二、证明上渐近密度(\overline{d}(A)=1) #

我们取子序列(n=a_{2k+1})，也就是考虑到第(a_{2k+1})个数时的比值。此时(A\cap{1,...,a_{2k+1}})是前k个开区间((a_{2m},a_{2m+1}))（m=1到k）的并集，元素个数是(\sum_{m=1}^{k}(a_{2m+1}-a_{2m}-1))。

我们可以换个角度算这个比值：
$$\frac{|A\cap{1,...,a_{2k+1}}|}{a_{2k+1}} = 1 - \frac{|\text{不在}A\text{中的元素个数}|}{a_{2k+1}}$$

不在A中的元素包括：前(a_2)个数、闭区间([a_{2m+1},a_{2m+2}])（m=1到k-1）里的数，以及(a_{2k+1})本身。这些元素的总个数是(a_2 + \sum_{m=1}^{k-1}(a_{2m+2}-a_{2m+1}+1) + 1)。

根据核心条件，(a_2 + \sum_{m=1}^{k-1}a_{2m+2} \leq S_{2k} = o(a_{2k+1}))，(\sum_{m=1}^{k-1}a_{2m+1} \leq S_{2k-1} = o(a_{2k+1}))，而k相对于(a_{2k+1})也是无穷小。因此不在A中的元素总数是(o(a_{2k+1}))，所以(\frac{|\text{不在}A\text{中的元素个数}|}{a_{2k+1}}\to0)，对应的比值就趋向于1。

这说明存在子序列使得比值趋近1，而上渐近密度是所有子序列极限的上确界，且上渐近密度不超过1，因此(\overline{d}(A)=1)。

综上，我们找到了分别趋近0和1的子序列，证明了集合A的下渐近密度为0，上渐近密度为1。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者A12345