寻求T₂遗传林德洛夫非Gδ空间的实例
我完全懂你的需求——你已经理清了$T_2$遗传林德洛夫空间必有可数伪特征，$T_3$正则性加持下遗传林德洛夫空间就能成为$G_\delta$空间（每个闭集都是可数个开集的交），现在要找一个仅满足$T_2$、遗传林德洛夫，但不满足$G_\delta$性质的空间例子，而且你已经在π-Base里搜过没结果，还清楚正则性在推导$G_\delta$性质时的核心作用（给开集里的每个点找含于开集的闭邻域）对吧？
其实有一个经典的构造能满足你的要求，我给你详细拆解一下：
具体构造步骤
我们来定义一个空间$X$：
- 先取$\mathbb{R}$中的一个不可数$G_\delta$集$S$（比如全体无理数集，它是可数个开集的交：$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} = \bigcap_{q \in \mathbb{Q}} \mathbb{R} \setminus {q}$），显然$S$本身是不可数的，它的补集也是不可数的。
- 引入一个不在$\mathbb{R}$中的新点$p$，令$X = S \cup {p}$。
- 给$X$定义拓扑：
- $S$中的每个点都沿用$\mathbb{R}$上的欧几里得邻域（比如以该点为中心的开区间，和$S$的交集就是这个点在$X$中的邻域）；
- 点$p$的邻域定义为：所有包含$p$，且与$S$的交集是$S$去掉一个可数子集后的剩余部分的集合——简单说就是，$U$是$p$的邻域当且仅当$U = {p} \cup (S \setminus C)$，其中$C$是$S$里的某个可数子集。
验证空间的性质
满足$T_2$（豪斯多夫）：
- 对于$S$中的两个不同点$x, y$，直接用欧几里得拓扑下不相交的开区间就能分开；
- 对于点$p$和任意$x \in S$，取$p$的邻域${p} \cup (S \setminus {x})$，再取$x$在欧几里得拓扑下的小开区间邻域（只包含$x$和$S$中附近的点，不包含$p$），这两个邻域不相交，完全满足$T_2$分离性。
遗传林德洛夫：
不管取$X$的哪个子空间$Y$，分两种情况看：- 如果$p$不在$Y$里，那$Y$就是$S$的子空间，而$S$是欧几里得拓扑下$\mathbb{R}$的子空间，欧几里得拓扑是第二可数的，第二可数空间的所有子空间都是遗传林德洛夫的，所以$Y$肯定是林德洛夫的；
- 如果$p$在$Y$里，那$Y = {p} \cup Y'$，其中$Y'$是$S$的子集。任取$Y$的一个开覆盖$\mathcal{U}$，里面肯定有一个开集$U$包含$p$，这个$U$和$Y'$的交集是$Y'$去掉一个可数子集$C$后的部分。剩下的$C$是可数集，给$C$里的每个点从$\mathcal{U}$里挑一个开覆盖，总共只需要可数个开集就能覆盖整个$Y$，所以$Y$是林德洛夫的。
不是$G_\delta$空间：
我们看闭集${p}$——因为$S$是$X$里的开集，所以$X \setminus S = {p}$是闭集。现在假设${p}$是$G_\delta$集，那它应该能写成可数个开集的交集：${p} = \bigcap_{n=1}^\infty U_n$，其中每个$U_n$都是$p$的邻域。按照$p$邻域的定义，每个$U_n = {p} \cup (S \setminus C_n)$，$C_n$是$S$里的可数子集。那这些$U_n$的交集就是${p} \cup (S \setminus \bigcup_{n=1}^\infty C_n)$。而$\bigcup_{n=1}^\infty C_n$是可数个可数集的并，还是可数集，$S$是不可数的，所以$S \setminus \bigcup_{n=1}^\infty C_n$是不可数的，这就意味着$\bigcap_{n=1}^\infty U_n$里除了$p$还有一大堆$S$里的点，根本不等于${p}$。这就矛盾了，所以${p}$不是$G_\delta$集，整个空间$X$也就不是$G_\delta$空间。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Almanzoris
