关于Perron Theorem（严格正矩阵）中Perron根Algebraic Multiplicity的证明疑问及替代证明请求

我在研究Perron定理（仅针对严格正矩阵）的这段证明时，发现它要论证Perron根是唯一的，也就是代数重数为1，但我对这个证明的细节有些困惑，主要卡在两个点上：

• 证明里提到的矩阵$A_i$和$A^{(i)}$到底有什么区别？
• 为什么这些子式的行列式是严格正的？

另外，如果各位有更直观、更优雅的替代证明方法，麻烦推荐给我。

需要说明的是，这里讨论的是Perron最初提出的定理，仅针对严格正矩阵，并非覆盖非负矩阵或不可约矩阵的Perron-Frobenius定理。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Piyush Choudhury