哪些群可在同构意义下通过特征标表唯一刻画？

这是个特别棒的问题——我刚接触表示论的时候也纠结过类似的点！毕竟特征标表是我们研究群结构的核心工具之一，但正如你注意到的，它不是万能的，比如8阶二面体群D₈和8阶四元数群Q₈就是经典的反例：它们的特征标表完全相同，但群本身并不同构。不过确实有不少群类，能被特征标表在同构意义下唯一确定，目前学界已经有不少成熟的结论：

• 所有有限交换群：交换群的特征标表直接对应了它的对偶群结构，而交换群的结构完全由其阶的不变因子分解决定，特征标表的正交性与不可约特征标的性质可以完美还原这些分解信息，因此任何两个特征标表相同的交换群一定是同构的。
• 有限对称群Sₙ（n≠6）：除了n=6的特殊情况，所有对称群Sₙ的特征标表都能唯一锁定它的结构。S₆之所以特殊，是因为它存在一个不诱导特征标表自同构的外自同构，但即便如此，它本身的特征标表也没有对应的“孪生”群，只是这个例外情况在群论里比较有趣。
• 大部分有限非交换单群：比如你提到的交错群A₅、A₆，这类单群的特征标表包含了足够多的关键结构信息——比如共轭类的大小、不可约特征标的度数、特征标的值等，结合单群的非交换简单性，这些信息足以排除任何同构以外的特征标等价群。实际上，除了极少数极其特殊的有限非交换单群（数量极少，属于学界研究的边缘例外情况），几乎所有这类单群都能被特征标表唯一确定。
• 有限循环群：这其实是交换群的特例，但单独提出来也很直观——循环群的特征标表完全由其阶数决定，而循环群的阶数唯一确定了它的同构类，自然不存在特征标表相同但不同构的情况。

另外补充个小知识点：如果一个群的特征标表中所有不可约特征标的度数都是1，那这个群一定是交换群，这也从侧面体现了交换群特征标表的特殊性。

当然也要明确：像有限幂零群、部分有限可解群里存在大量“特征标等价但不同构”的群，比如你提到的D₈和Q₈就是8阶幂零群的典型反例，所以这类群类没法整体通过特征标表来唯一刻画。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Amanda Wealth