分数阶Sobolev不等式中的常数是否对所有立方体具有普适性？

嘿，关于你问的这个分数阶Sobolev不等式里的常数是否对所有立方体普适的问题，我们先从一个已有的核心结论说起：

考虑$d\geqslant1$维的有界开连通Lipschitz集$D$，取参数$\eta\in(0,1)$，$p>0$，$\alpha>0$。Bartlomiej Dyda在2006年的论文《On comparability of integral forms》里，证明了这样一个关键不等式（对应论文里的式(13)，这里标记为()）：存在一个仅依赖于$d,p,\alpha,\eta,D$的常数$C>0$，使得对任意函数$u\colon D\to\mathbb{R}$，都有：
$$
\begin{equation}\tag{}
\int_D\int_D\frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|{d+\alpha}},\mathrm{d}y\mathrm{d}x
\leqslant C\int_D\int_{B(x,\eta\mathrm{dist}(x,\partial D))}\frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|{d+\alpha}},\mathrm{d}y\mathrm{d}x
\end{equation}
$$
这里的$B(x,\eta\mathrm{dist}(x,\partial D))$是中心在点$x$、半径为$\eta$乘以$x$到$D$边界距离的开球。

现在回到你的核心问题：这个常数$C$对所有立方体是否有普适性？

答案是肯定的，同维数的所有立方体都能共享同一个普适常数，核心原因在于立方体之间的相似性：

• 任取一个$d$维立方体$D_L$（边长为$L$），咱们可以通过变量替换$x = Lx'$、$y = Ly'$把它缩放成单位立方体$D_1$（边长为1）。
• 对不等式两边的积分做变量替换后，尺度因子$L$会在分子分母里相互抵消：比如$|x-y| = L|x'-y'|$，$\mathrm{dist}(x,\partial D_L) = L\mathrm{dist}(x',\partial D_1)$，积分测度$\mathrm{d}x\mathrm{d}y = L^{{2d}\mathrm{d}x'\mathrm{d}y'$，仔细计算后，不等式两边会多出一个相同的$L}{d-\alpha}$因子，直接约掉就行，剩下的不等式形式和单位立方体上的完全一致。
• 这就意味着，只要单位立方体上存在一个常数$C_0 = C(d,p,\alpha,\eta,D_1)$，那任意大小的同维立方体上的常数就是同一个$C_0$，完全不需要随立方体的尺寸改变。

当然要提一句，这里的普适性是针对同维数的所有立方体，不同维数的话常数还是会依赖于$d$的，这也是符合直觉的——维度不同，分数阶积分的行为肯定会有差异。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Frank