H¹空间对偶空间的相关困惑

咱们先从基础概念捋起哈：设$H^1(\Omega)$是定义在区域$\Omega \subset \mathbb{R}^{n$上的Sobolev空间$W}{1,2}$。关于$H^{{-1}$到底是$H}1$的对偶空间，还是$H^1_0$的对偶空间，这个问题在相关学术讨论里被问过好多次了。

通常大家都会说$H^{-1}$是$H1_0$的对偶空间，因为可以证明这两个空间之间存在同构关系；而$H^1$的对偶空间就没那么容易刻画清楚了。

我最近的困惑来自于《Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations》这本书里的一个定理……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者CBBAM