关于曳物线相关积分∫(√(a²-x²)/x)dx的原函数完整推导问询

嘿，我最近在研究和曳物线相关的一个积分，就是下面这个形式：
$$\newcommand{\sech}{\operatorname{sech}}
\int \frac{\sqrt{a^2-x2}}{x} , dx
$$

试了试常规的三角代换，感觉不太顺手，于是我换了个思路——用双曲函数代换，设：
$$
x = a \tanh(\theta)
$$

之所以选这个代换，是因为双曲函数有这样的恒等式，能帮我们简化根号里的部分：
$$
\sech^2(\theta) + \tanh^2(\theta) = 1,
\qquad
a\sech(\theta) = a\sqrt{1 - \tanh^2(\theta)},
$$

这里的θ是x的反双曲正切函数，推导一下它和dx的关系：
$$\theta = \tanh^{-1}\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr)
\quad\implies\quad
d\theta = \frac{a}{a^2 - x^2},dx.
$$

把这些代入原积分的被积部分后，我一步步化简：
$$
\begin{aligned}
\frac{\sqrt{a^2-x2}}{x} , dx
&= \frac{\sech(\theta)}{\tanh(\theta)} , d\theta \
&= \frac{d\theta}{\cosh(\theta)} \cdot
\frac{\cosh(\theta)}{\sinh(\theta)} \
&= \frac{d\theta}{\sinh(\theta)}
\end{aligned}
$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mr X