求证f(x)+g(x)=O(f(x)*g(x))：函数恒大于1时的大O上界证明问询

别担心，这个基础的复杂度证明其实很直观，我一步步给你拆解清楚～

首先得先明确大O符号的核心定义：如果我们说函数( h(x) = O(k(x)) )，意思是存在某个正的常数( C )和某个阈值( x_0 )，使得当( x \geq x_0 )时，( |h(x)| \leq C \cdot |k(x)| )永远成立。

接下来就用题目给的条件——对任意x，f(x) > 1且g(x) > 1——来推导：

• 因为( f(x) > 1 )，两边乘上正数( g(x) )，不等号方向不变，得到：( f(x) \cdot g(x) > g(x) )
• 同理，因为( g(x) > 1 )，两边乘上正数( f(x) )，得到：( f(x) \cdot g(x) > f(x) )

把这两个不等式加起来：
( f(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g(x) > f(x) + g(x) )
化简后就是：
( 2 \cdot f(x) \cdot g(x) > f(x) + g(x) )

因为f(x)和g(x)都大于1，所以它们的和、乘积都是正数，绝对值可以直接去掉，写成：
( f(x) + g(x) \leq 2 \cdot f(x) \cdot g(x) )

现在对照大O的定义：我们取( C=2 )，( x_0 )可以随便取一个非负数（毕竟题目说对所有x都满足f,g>1，所以所有x都符合条件），完全满足大O的要求。

所以这个命题是成立的。

举个实际例子验证下：比如( f(x)=x+2 )，( g(x)=x+3 )，对所有x≥0，f(x)和g(x)都大于1。此时( f(x)+g(x)=2x+5 )，( f(x)g(x)=x²+5x+6 )，显然( 2x+5 \leq 2(x²+5x+6) )对所有x≥0都成立，完美符合我们的推导结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Eiad Amer