关于解析性在t=0邻域内推导出矩阵行列式比值指数关系的技术问询

针对你提出的从式(1)到式(2)的推导逻辑问题，我来一步步拆解这个过程的严谨性、关键前提和技术细节：

1. 从式(1)到式(2)的直接代数变形逻辑 #

我们先从论文给出的初始关系式(1)出发：
$$ \left\vert\mathbf I -2t\boldsymbol{\Sigma}_1^{{1/2}\boldsymbol{G\Sigma}_1}{1/2}\right\vert^{-1/2}=e{\chi(t)}\left\vert\mathbf I -2t\boldsymbol{\Psi}_1^{{1/2}\boldsymbol{H\Psi}_1}{1/2}\right\vert^{-1/2},\tag 1\label 1$$
其中$\chi(t)$的定义为：
$$ \chi(t) = 2t^{2(\boldsymbol\eta_1-\boldsymbol\eta_2)}\top \boldsymbol\Psi_2^{{-1}\left(\boldsymbol\Psi_1}{-1}-2t\boldsymbol H\right)^{{-1}\boldsymbol\Psi_2}{-1}(\boldsymbol\eta_1-\boldsymbol\eta_2) + c. $$

变形步骤拆解：

1. 取倒数：由于在t=0邻域内，两个矩阵$\mathbf I -2t\boldsymbol{\Sigma}_1^{{1/2}\boldsymbol{G\Sigma}_1}{1/2}$和$\mathbf I -2t\boldsymbol{\Psi}_1^{{1/2}\boldsymbol{H\Psi}_1}{1/2}$均可逆（行列式非零），因此可以对等式两边直接取倒数：
   $$ \left\vert\mathbf I -2t\boldsymbol{\Sigma}_1^{{1/2}\boldsymbol{G\Sigma}_1}{1/2}\right\vert^{1/2}=e{-\chi(t)}\left\vert\mathbf I -2t\boldsymbol{\Psi}_1^{{1/2}\boldsymbol{H\Psi}_1}{1/2}\right\vert^{1/2} $$
2. 平方运算：因为实矩阵的行列式是实数，且邻域内行列式符号固定（接近t=0时行列式趋近于1>0），平方后等式等价性保持：
   $$ \left\vert\mathbf I -2t\boldsymbol{\Sigma}_1^{{1/2}\boldsymbol{G\Sigma}_1}{1/2}\right\vert=e^{-2\chi(t)}\left\vert\mathbf I -2t\boldsymbol{\Psi}_1^{{1/2}\boldsymbol{H\Psi}_1}{1/2}\right\vert $$
3. 整理为比值形式：将两个行列式移到等式同侧，即可得到论文中的式(2)：
   $$\frac{\left\vert\mathbf I -2t\boldsymbol{\Psi}_1^{{1/2}\boldsymbol{H\Psi}_1}{1/2}\right\vert}{\left\vert\mathbf I -2t\boldsymbol{\Sigma}_1^{{1/2}\boldsymbol{G\Sigma}_1}{1/2}\right\vert}=\exp(2\chi(t)),\tag 2\label 2$$

2. t=0邻域的核心意义——解析性与可逆性的双重保障 #

作者特意限定在t=0的邻域内，是因为这一条件为整个推导提供了两个关键基础：

• 矩阵可逆性：当t足够接近0时，$\mathbf I -2t\boldsymbol{M}$（M为任意给定矩阵）的特征值都落在1的小邻域内，因此矩阵可逆，行列式不为零，这是所有代数变形的前提。
• $\chi(t)$的解析性：观察$\chi(t)$的表达式，其中的逆矩阵项$\left(\boldsymbol\Psi_1^{-1}-2t\boldsymbol H\right)^{-1}$可以通过Neumann级数展开为t的幂级数：当$|2t|\cdot|\boldsymbol H| < |\boldsymbol\Psi_1^{-1}|{-1}$时，逆矩阵可展开为$\sum_{k=0}^\infty (2t)^k \boldsymbol\Psi_1^{-1}(\boldsymbol H\boldsymbol\Psi_1^{-1})k$，因此$\chi(t)$是t的解析函数，指数运算$\exp(2\chi(t))$的合法性也随之成立。
• 解析延拓的唯一性：在解析函数的邻域内，若两个解析函数在邻域内的点都相等，则可保证等式在整个邻域内成立，这确保了推导的结论不是仅在单个点成立，而是在t=0的局部范围内普遍有效。

3. t=0处的验证：常数项c的约束 #

当t=0时，代入式(2)可得：

• 左边行列式比值为$\frac{|\mathbf I|}{|\mathbf I|}=1$
• 右边为$\exp(2\chi(0))=\exp(2c)$

因此实值情况下必然有$c=0$，复值情况下$c=k\pi i$（k为整数），这也验证了$\chi(t)$中常数项的物理意义。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者User1865345