豪斯多夫σ紧空间上贝尔测度的胎紧性证明

嘿，先来把题目里的核心概念明确下来，避免混淆：

• 设$X$是拓扑空间，一个开集$U\subseteq X$被称为函数开集，当且仅当存在连续函数$f:X\to \mathbb{R}$和$\mathbb{R}$中的开集$V$，使得$U=f^{-1}(V)$。
• 记$\mathbf{Ba}(X)$为$X$上由所有函数开集生成的σ-代数，这就是咱们常说的贝尔σ-代数，定义在它上面的测度$\mu:\mathbf{Ba}(X)\to \mathbb{R}$就是贝尔测度。

现在要证的结论是：如果$X$是豪斯多夫σ紧空间，那么每个实值贝尔测度$\mu$都是胎紧的——胎紧的定义是：对任意$\varepsilon>0$，都存在紧集$K\subseteq X$，使得$|\mu|(X\setminus K)<\varepsilon$（这里用总变差测度$|\mu|$是因为$\mu$可能是带符号的实值测度，总变差能统一处理正负部分）。

证明步骤 #

1. 利用σ紧性拆分空间
   因为$X$是σ紧的，所以我们能找到一列递增的紧集${K_n}{n=1}^{\infty$，满足$X=\bigcup_{n=1}}\infty K_n$，而且还可以让每个$K_n$都包含在$K{n+1}$的内部里（如果原始序列不满足，只需要取$K_n'=\bigcup_{i=1}^n K_i$，再利用豪斯多夫空间中紧集的邻域性质，就能构造出满足内部包含的递增紧集序列）。

2. 用Urysohn引理构造函数开集逼近紧集
   由于$X$是豪斯多夫空间，紧集都是闭集。对每个$K_n$，根据Urysohn引理，存在连续函数$f_n:X\to[0,1]$，使得$f_n$在$K_n$上恒等于1，在$X\setminus \text{int}(K_{n+1})$上恒等于0。
   此时，$U_n=f_n^{-1}((1/2,+\infty))$是一个标准的函数开集，而且显然$K_n\subseteq U_n\subseteq \overline{U_n}\subseteq K_{n+1}$。
   这里$\overline{U_n}$是紧集，因为它是紧集$K_{n+1}$的闭子集，而豪斯多夫空间中紧集的闭子集必然是紧的。

3. 利用测度的连续性验证胎紧性
   考虑$\mu$的总变差测度$|\mu|$，它是有限测度（因为$\mu$是实值测度，总变差必然有限）。由于${U_n}$是递增的开集列，且$\bigcup_{n=1}^\infty U_n=X$，根据测度的下连续性，有$\lim_{n\to\infty}|\mu|(U_n)=|\mu|(X)$。

对任意给定的$\varepsilon>0$，总能找到一个足够大的$N$，使得$|\mu|(X)-|\mu|(U_N)<\varepsilon$，也就是$|\mu|(X\setminus U_N)<\varepsilon$。
取$K=\overline{U_N}$，这是一个紧集，而且$X\setminus K\subseteq X\setminus U_N$，所以$|\mu|(X\setminus K)\leq|\mu|(X\setminus U_N)<\varepsilon$，完全满足胎紧性的定义。

补充说明 #

如果$\mu$是非负测度，那直接用$\mu$代替总变差测度$|\mu|$就行，逻辑是一样的。另外，这里的紧集$K$是贝尔集吗？答案是肯定的：因为$\overline{U_n}=X\setminus f_n^{{-1}((-\infty,1/2])$，而$f_n}{-1}((-\infty,1/2])$是函数闭集（连续函数的原像保持闭性），属于贝尔σ-代数，所以它的补集$\overline{U_n}$也属于贝尔σ-代数，测度是有定义的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rfloc