集合论中集合$S=\{B\times C : B \in A\}$的良定义性验证问题

嘿，我来帮你理清楚这个问题！首先得结合你目前学的前六个ZF公理（外延性、空集、二元集、分离、并集、幂集）来分析，毕竟你老师要求只用已学的工具来验证，对吧？

首先先纠正你之前的一个小误区：不管A是不是空集，集合$S={B\times C : B \in A}$都是良定义的，不是只有A非空才行哦。咱们一步步拆解：

先确认基础：笛卡尔积$B\times C$的良定义性。用你们学过的公理，有序对$(a,b)$用库拉托夫斯基定义${{a},{a,b}}$的话，对于任意集合B、C，$B\times C$肯定是合法集合——先通过并集公理得到$B\cup C$，再用幂集公理得到$\mathcal{P}(B\cup C)$，这个幂集里包含了所有可能的单元素集和二元集，最后用分离公理把所有符合有序对形式的元素挑出来，就得到了$B\times C$，这一步完全没问题。

接下来分两种情况看S的良定义性：

• 当$A\neq\emptyset$时：我们需要把所有$B\in A$对应的$B\times C$收集成一个集合。先利用并集公理得到$U=\bigcup A$（U是A中所有集合的元素组成的集合），那显然每个$B\in A$都满足$B\subseteq U$，所以$B\times C\subseteq U\times C$。而$U\times C$是合法集合，它的幂集$\mathcal{P}(U\times C)$就包含了所有$B\times C$作为元素。接下来用分离公理：$S={X\in\mathcal{P}(U\times C) \mid \exists B\in A, X=B\times C}$——这个定义完全符合分离公理的要求，因为“$\exists B\in A, X=B\times C$”是一个合法的性质（用已学的公理能描述），所以S是良定义的。
• 当$A=\emptyset$时：此时没有任何$B$满足$B\in\emptyset$，所以$S={B\times C : B \in \emptyset}$就是空集。而空集公理直接保证了空集的存在性，外延性公理还保证它是唯一的，所以这个空集当然是良定义的！

你之前觉得A不能为空，可能是误以为“没有元素的集合”不算良定义，但其实空集是公理明确认可的合法集合，完全符合良定义的要求。

最后再总结下：只要A、C是任意集合（不管A空不空），集合S都是良定义的——要么是由若干笛卡尔积组成的非空集合，要么是空集，两种情况都能用你学的前六个公理严格证明其存在性和唯一性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者100-010-000