疑问：为何该纤维积图满足交换性？

别担心，我来给你掰扯清楚这个图为啥能交换～

要理解这个交换性，咱们得先把图里每个态射的“本职工作”搞明白：

• Γ_f 是态射 ( f: X \to Y ) 的图态射，它会把X里的任意元素( x )，打包成纤维积( X \times_S Y )里的点 ( (x, f(x)) )——说白了就是把( x )和它在( f )下的像配对起来。
• ( \Delta_Y ) 是Y的对角态射，它的作用很简单：把Y里的任意元素( y )，复制两份变成纤维积( Y \times_S Y )里的点 ( (y, y) )。
• ( f \times Y ) 是从( X \times_S Y )到( Y \times_S Y )的态射，它对纤维积里的点( (x, y) )操作时，会把第一个分量（来自X的部分）用( f )映射，第二个分量（来自Y的部分）原封不动，也就是映成 ( (f(x), y) )。

现在咱们直接算图里两条路径对任意( x \in X )的作用结果：

1. 走“上→右”的路径：先通过Γ_f把( x )变成( (x, f(x)) )，再经过( f \times Y )映射，最终得到( (f(x), f(x)) )。
2. 走“下→右”的路径：先通过( f )把( x )变成( f(x) )，再经过( \Delta_Y )映射，最终也得到( (f(x), f(x)) )。

你看，两条路径对X里的所有元素都给出了完全一样的结果，这就说明两个复合态射是完全相同的，那这个图自然就满足交换性啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Icing model